Все элементы главной диагонали единичной матрицы равны. Матрицы. Виды матриц. Основные термины

Определители квадратных матриц

Матрицы в математике – один из важнейших объектов, имеющих прикладное значение. Частоэкскурс в теорию матриц начинают со слов: “Матрица – это прямоугольная таблица…”. Мы начнём этот экскурснесколько с другой стороны.

Телефонные книги любого размера и с любым числом данных об абоненте – ни что иное, как матрицы. Такие матрицыимеют примерно следующий вид:

Ясно, что такими матрицами мы все пользуемся почти каждый день.

Эти матрицы бывают с различнымчислом строк (различаются как выпущенный телефонной компанией справочник, в котором могут быть тысячи, сотни тысяч и даже миллионы строки только что начатая Вами новая записная книжка, в которой меньше десяти строк) и столбцов (справочник должностных лиц какой-нибудьорганизации, в котором могут быть такие столбцы, как должность и номер кабинета и та же Ваша записная книжка, гдеможет не быть никаких данных, кроме имени, и, таким образом, в ней только два столбца – имя и телефон).

Всякие матрицы можно складывать и умножать, а также проводить над ними другие операции,однако нет необходимости складывать и умножать телефонные справочники, от этого нет никакой пользы, к томуже можно и подвинуться рассудком.

Но очень многие матрицы можно и нужно складывать и перемножать и решать таким образомразличные насущные задачи. Ниже примеры таких матриц.

Матрицы, в которых столбцы – выпуск единиц продукции того или иного вида, а строки- годы, в которых ведётся учёт выпуска этой продукции:

Можно складывать матрицы такого вида, в которых учтён выпуск аналогичной продукцииразличными предприятиями, чтобы получить суммарные данные по отрасли.

Или матрицы, состоящие, к примеру, из одного столбца, в которых строки -средняя себестоимость того или иного вида продукции:

Матрицы двух последних видов можно умножать, а в результате получится матрица-строка,содержащая себестоимость всех видов продукции по годам.

Матрицы, основные определения

Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m строках и nстолбцах, называется mn-матрицей(или просто матрицей) и записывается так:

(1)

В матрице (1) числаназываются её элементами(как и в определителе, первый индекс означает номер строки, второй – столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, n).

Матрица называется прямоугольной, если.

Если же m = n , то матрица называется квадратной, а число n – её порядком.

Определителем квадратной матрицы Aназывается определитель, элементами которого являются элементы матрицы A. Он обозначается символом |A|.

Квадратная матрица называется неособенной(или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной(или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.

Матрицы называются равными, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.

Матрица называется нулевой, если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0или.

Например,

Матрицей-строкой(или строчной) называется 1n-матрица, а матрицей-столбцом(или столбцовой) – m1-матрица.

Матрица A“, которая получается из матрицыA заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированнойотносительно матрицы A. Таким образом, для матрицы (1) транспонированной является матрица

Операция перехода к матрице A“,транспонированной относительно матрицы A, называется транспонированием матрицы A.Для mn-матрицы транспонированной является nm-матрица.

Транспонированной относительно матрицыявляется матрица A, то есть

(A“)” = A.

Пример 1. Найти матрицу A“,транспонированную относительно матрицы

и выяснить, равны ли определители исходной и транспонированной матриц.

Главной диагональюквадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными.

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю.

Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны одному и тому же числу, отличному от нуля, авсе прочие равны нулю, называется скалярной матрицей.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичной матрицей третьего порядка является матрица

Пример 2. Даны матрицы:

Решение. Вычислим определители данных матриц. Пользуясь правилом треугольников, найдём

Определитель матрицы B вычислим по формуле

Легко получаем, что

Следовательно, матрицы A и– неособенные (невырожденные, несингулярные), а матрица B– особенная (вырожденная, сингулярная).

Определитель единичной матрицы любого порядка, очевидно, равен единице.

Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Даны матрицы

,

,

Установить, какие из них являются неособенными (невырожденными, несингулярными).

Применение матриц в математико-экономическом моделировании

В виде матриц просто и удобно записываются структурированные данные о том или ином объекте. Матричныемодели создаются не только для хранения этих структурированных данных, но и для решения различных задач с этими даннымисредствами линейной алгебры.

Так, известной матричной моделью экономики является модель “затраты-выпуск”, внедрённая американскимэкономистом русского происхождения Василием Леонтьевым. Эта модель исходит из предположения, что весь производственныйсектор экономики разбит на n чистых отраслей.

Каждая из отраслей выпускает продукцию только одного вида и разные отрасливыпускают разную продукцию.

Из-за такого разделения труда между отраслями существуют межотраслевые связи, смысл которыхсостоит в том, что часть продукции каждой отрасли передаётся другим отраслям в качестве ресурса производства.

Объём продукции i-й отрасли (измеряемый определённой единицей измерения), которая была произведеназа отчётный период, обозначается через иназывается полным выпуском i-й отрасли. Выпускиудобно разместить в n-компонентную строку матрицы.

Количество единиц продукции i-й отрасли, которое необходимо затратить j-йотрасли для производства единицы своей продукции, обозначаетсяи называется коэффициентом прямых затрат.

Матрицей называетсяпрямоугольная таблица чисел, состоящаяиз mодинаковойдлины строк или n одинаковойдлины столбцов.

aij-элемент матрицы, который находитсяв i-ойстроке и j-мстолбце.

Длякраткости матрицу можно обозначатьодной заглавной буквой, например, А или В.

Вобщем виде матрицу размером m×n записываюттак

Примеры:

Еслив матрице число строк равно числустолбцов, то матрица называется квадратной,причём число ее строк или столбцовназывается порядком матрицы.В приведённых выше примерах квадратнымиявляются вторая матрица – её порядокравен 3, и четвёртая матрица – её порядок1.

Матрица,в которой число строк не равно числустолбцов, называется прямоугольной.В примерах это первая матрица и третья.

Главнойдиагональю квадратнойматрицы назовём диагональ, идущую излевого верхнего в правый нижний угол.

Квадратнаяматрица, у которой все элементы, лежащиениже главной диагонали, равны нулю,называется треугольной матрицей.

.

Квадратнаяматрица, у которой все элементы, кроме,быть может, стоящих на главной диагонали,равны нулю, называется диагональной матрицей.Например, или .

Диагональнаяматрица, у которой все диагональныеэлементы равны единице,называется единичной матрицейи обозначается буквой E. Например,единичная матрица 3-го порядка имеетвид .

назадв содержание

(36)85.Что такое линейные операции над матрицами? Примеры

Вовсех случаях, когда вводятся новыематематические объекты, необходимодоговариваться о правилах действийнадними, а также определить – какие объектысчитаются равнымимежду собой.

Природаобъектов не имеет никакого значения.Это могут быть вещественные иликомплексные числа, векторы, матрицы,строки или что-то иное.

Кчислу стандартных действий относятся линейные операции, а именно: умножениена число и сложение; в данном конкретномслучае – умножкние матрицы на число исложение матриц.

Приумножении матрицы на число каждыйматричный элемент умножается на эточисло, а сложение матриц подразумеваетпопарное сложение элементов, расположенныхв эквивалентных позициях.

Терминологическоевыражение ” линейная комбинация

Источник: https://electricianf.ru/motors/vse-elementy-glavnoi-diagonali-edinichnoi-matricy-ravny/

Виды матриц. Ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому и треугольному виду

Матрица – это особый объект в математике. Изображается в форме прямоугольной или квадратной таблицы, сложенной из определенного числа строк и столбцов. В математике имеется большое разнообразие видов матриц, различающихся по размерам или содержанию. Числа ее строк и столбцов именуются порядками.

Эти объекты употребляются в математике для упорядочивания записи систем линейных уравнений и удобного поиска их результатов. Уравнения с использованием матрицы решаются посредством метода Карла Гаусса, Габриэля Крамера, миноров и алгебраических дополнений, а также многими другими способами. Базовым умением при работе с матрицами является приведение к стандартному виду.

Однако для начала давайте разберемся, какие виды матриц выделяют математики.

Нулевой тип

Все компоненты этого вида матрицы – нули. Между тем, число ее строк и столбцов абсолютно различно.

Квадратный тип

Количество столбцов и строк этого вида матрицы совпадает. Иначе говоря, она представляет собой таблицу формы “квадрат”. Число ее столбцов (или строк) именуются порядком. Частными случаями считается существование матрицы второго порядка (матрица 2×2), четвертого порядка (4×4), десятого (10×10), семнадцатого (17×17) и так далее.

Это один из простейших видов матриц, содержащий только один столбец, который включает в себя три численных значения. Она представляет ряд свободных членов (чисел, независимых от переменных) в системах линейных уравнений.

Вектор-строка

Вид, аналогичный предыдущему. Состоит из трех численных элементов, в свою очередь организованных в одну строку.

Диагональный тип

Числовые значения в диагональном виде матрицы принимают только компоненты главной диагонали (выделена зеленым цветом).

Основная диагональ начинается с элемента, находящегося в левом верхнем углу, а заканчивается элементом в правом нижнем соответственно. Остальные компоненты равны нулю.

Диагональный тип представляет собой только квадратную матрицу какого-либо порядка. Среди матриц диагонального вида можно выделить скалярную. Все ее компоненты принимают одинаковые значения.

Подвид диагональной матрицы. Все ее числовые значения являются единицами. Используя единичный тип матричных таблиц, выполняют ее базовые преобразования или находят матрицу, обратную исходной.

Канонический тип

Канонический вид матрицы считается одним из основных; приведение к нему часто необходимо для работы. Число строк и столбцов в канонической матрице различно, она необязательно принадлежит к квадратному типу.

Она несколько похожа на единичную матрицу, однако в ее случае не все компоненты основной диагонали принимают значение, равное единице. Главнодиагональных единиц может быть две, четыре (все зависит от длины и ширины матрицы). Или единицы могут не иметься вовсе (тогда она считается нулевой).

Остальные компоненты канонического типа, как и элементы диагонального и единичного, равны нулю.

Треугольный тип

Один из важнейших видов матрицы, применяемый при поиске ее детерминанта и при выполнении простейших операций. Треугольный тип происходит от диагонального, поэтому матрица также является квадратной. Треугольный вид матрицы подразделяют на верхнетреугольный и нижнетреугольный.

В верхнетреугольной матрице (рис. 1) только элементы, которые находятся над главной диагональю, принимают значение, равное нулю. Компоненты же самой диагонали и части матрицы, располагающейся под ней, содержат числовые значения.

В нижнетреугольной (рис. 2), наоборот, элементы, располагающиеся в нижней части матрицы, равны нулю.

Ступенчатая матрица

Вид необходим для нахождения ранга матрицы, а также для элементарных действий над ними (наряду с треугольным типом). Ступенчатая матрица названа так, потому что в ней содержатся характерные “ступени” из нулей (как показано на рисунке).

В ступенчатом типе образуется диагональ из нулей (необязательно главная), и все элементы под данной диагональю тоже имеют значения, равные нулю.

Обязательным условием является следующее: если в ступенчатой матрице присутствует нулевая строка, то остальные строки, находящиеся ниже нее, также не содержат числовых значений.

Таким образом, мы рассмотрели важнейшие типы матриц, необходимые для работы с ними. Теперь разберемся с задачей преобразования матрицы в требуемую форму.

Приведение к треугольному виду

Как же привести матрицу к треугольному виду? Чаще всего в заданиях нужно преобразовать матрицу в треугольный вид, чтобы найти ее детерминант, по-другому называемый определителем.

Выполняя данную процедуру, крайне важно “сохранить” главную диагональ матрицы, потому что детерминант треугольной матрицы равен именно произведению компонентов ее главной диагонали. Напомню также альтернативные методы нахождения определителя. Детерминант квадратного типа находится при помощи специальных формул.

Например, можно воспользоваться методом треугольника. Для других матриц используют метод разложения по строке, столбцу или их элементам. Также можно применять метод миноров и алгебраических дополнений матрицы.

Подробно разберем процесс приведения матрицы к треугольному виду на примерах некоторых заданий.

Задание 1

Необходимо найти детерминант представленной матрицы, используя метод приведения его к треугольному виду.

Данная нам матрица представляет собой квадратную матрицу третьего порядка. Следовательно, для ее преобразования в треугольную форму нам понадобится обратить в нуль два компонента первого столбца и один компонент второго.

Чтобы привести ее к треугольному виду, начнем преобразование с левого нижнего угла матрицы – с числа 6. Чтобы обратить его в нуль, умножим первую строку на три и вычтем ее из последней строки.

Важно! Верхняя строка не изменяется, а остается такой же, как и в исходной матрице. Записывать строку, в четыре раза большую исходной, не нужно. Но значения строк, компоненты которых нужно обратить в нуль, постоянно меняются.

Далее займемся следующим значением – элементом второй строки первого столбца, числом 8. Умножим первую строку на четыре и вычтем ее из второй строки. Получим нуль.

Осталось только последнее значение – элемент третьей строки второго столбца. Это число (-1). Чтобы обратить его в нуль, из первой строки вычтем вторую.

Выполним проверку:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Значит, ответ к заданию: -22.

Задание 2

Нужно найти детерминант матрицы методом приведения его к треугольному виду.

Представленная матрица принадлежит к квадратному типу и является матрицей четвертого порядка. Значит, необходимо обратить в нуль три компонента первого столбца, два компонента второго столбца и один компонент третьего.

Начнем приведение ее с элемента, находящегося в нижнем углу слева, – с числа 4. Нам нужно обратить данное число в нуль. Удобнее всего сделать это, умножив на четыре верхнюю строку, а затем вычесть ее из четвертой. Запишем итог первого этапа преобразования.

Итак, компонент четвертой строки обращен в нуль. Перейдем к первому элементу третьей строки, к числу 3. Выполняем аналогичную операцию. Умножаем на три первую строку, вычитаем ее из третьей строки и записываем результат.

Далее видим число 2 во второй строке. Повторяем операцию: умножаем верхнюю строку на два и вычитаем ее из второй.

Нам удалось обратить в нуль все компоненты первого столбца данной квадратной матрицы, за исключением числа 1 – элемента главной диагонали, не требующего преобразования. Теперь важно сохранить полученные нули, поэтому будем выполнять преобразования со строками, а не со столбцами. Перейдем ко второму столбцу представленной матрицы.

Снова начнем с нижней части – с элемента второго столбца последней строки. Это число (-7). Однако в данном случае удобнее начать с числа (-1) – элемента второго столбца третьей строки.

Чтобы обратить его в нуль, вычтем из третьей строки вторую. Затем умножим вторую строку на семь и вычтем ее из четвертой. Мы получили нуль вместо элемента, расположенного в четвертой строке второго столбца.

Теперь перейдем к третьему столбцу.

В данном столбце нам нужно обратить в нуль только одно число – 4. Сделать это несложно: просто прибавляем к последней строке третью и видим необходимый нам нуль.

После всех произведенных преобразований мы привели предложенную матрицу к треугольному виду. Теперь, чтобы найти ее детерминант, нужно только произвести умножение получившихся элементов главной диагонали. Получаем: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Следовательно, решением является число 160.

Итак, теперь вопрос приведения матрицы к треугольному виду вас не затруднит.

Приведение к ступенчатому виду

При элементарных операциях над матрицами ступенчатый вид является менее “востребованным”, чем треугольный. Чаще всего он используется для нахождения ранга матрицы (т. е.

количества ее ненулевых строк) или для определения линейно зависимых и независимых строк.

Однако ступенчатый вид матрицы является более универсальным, так как подходит не только для квадратного типа, но и для всех остальных.

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду, сначала нужно найти ее детерминант. Для этого подойдут вышеназванные методы. Цель нахождения детерминанта такова: выяснить, можно ли преобразовать ее в ступенчатый вид матрицы.

Если детерминант больше или меньше нуля, то можно спокойно приступать к заданию. Если же он равен нулю, выполнить приведение матрицы к ступенчатому виду не получится. В таком случае нужно проверить, нет ли ошибок в записи или в преобразованиях матрицы.

Если подобных неточностей нет, задание решить невозможно.

Рассмотрим, как привести матрицу к ступенчатому виду на примерах нескольких заданий.

Задание 1. Найти ранг данной матричной таблицы.

Перед нами квадратная матрица третьего порядка (3×3). Мы знаем, что для нахождения ранга необходимо привести ее к ступенчатому виду. Поэтому сначала нам необходимо найти детерминант матрицы. Воспользуемся методом треугольника: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) – (1 x 1 x 4) – (2 x 3 x 0) – (6 x 5 x 2) = 12.

Детерминант = 12. Он больше нуля, значит, матрицу можно привести к ступенчатому виду. Приступим к ее преобразованиям.

Начнем его с элемента левого столбца третьей строки – числа 2. Умножаем верхнюю строку на два и вычитаем ее из третьей. Благодаря этой операции как нужный нам элемент, так и число 4 – элемент второго столбца третьей строки – обратились в нуль.

Далее обращаем в нуль элемент второй строки первого столбца – число 3. Для этого умножаем верхнюю строку на три и вычитаем ее из второй.

Мы видим, что в результате приведения образовалась треугольная матрица. В нашем случае продолжить преобразование нельзя, так как остальные компоненты не удастся обратить в нуль.

Значит, делаем вывод, что количество строк, содержащих числовые значения, в данной матрице (или ее ранг) – 3. Ответ к заданию: 3.

Задание 2. Определить количество линейно независимых строк данной матрицы.

Нам требуется найти такие строки, которые нельзя какими-либо преобразованиями обратить в нуль. Фактически нам нужно найти количество ненулевых строк, или ранг представленной матрицы. Для этого выполним ее упрощение.

Мы видим матрицу, не принадлежащую к квадратному типу. Она имеет размеры 3×4. Начнем приведение также с элемента левого нижнего угла – числа (-1).

Прибавляем первую строку к третьей. Далее вычитаем из нее вторую, чтобы обратить число 5 в нуль.

Дальнейшие ее преобразования невозможны. Значит, делаем вывод, что количество линейно независимых строк в ней и ответ к заданию – 3.

Теперь приведение матрицы к ступенчатому виду не является для вас невыполнимым заданием.

На примерах данных заданий мы разобрали приведение матрицы к треугольному виду и ступенчатому виду. Чтобы обратить в нуль нужные значения матричных таблиц, в отдельных случаях требуется проявить фантазию и правильно преобразовать их столбцы или строки. Успехов вам в математике и в работе с матрицами!

Источник: https://FB.ru/article/373673/vidyi-matrits-stupenchatyiy-vid-matritsyi-privedenie-matritsyi-k-stupenchatomu-i-treugolnomu-vidu

Матрицы. Основные определения

Матрица является одним из основных математических понятий. В статье приводится определение матрицы, вводится отношение равенства матриц, приведены основные виды матриц.

Определение матрицы; Равенство матриц Основные виды матриц Строчная матрица Столбцовая матрица Нулевая матрица Квадратная матрица Диагональная матрица Скалярная матрица Единичная матрица Треугольная матрица Ступенчатая матрица Транспонированная матрица Исторические сведения

Определение матрицы

Одним из основных математических понятий является матрица, под которой понимается система из чисел (элементов матрицы), записанных прямоугольной таблицей из строк и столбцов:

Для задания матриц применяются скобки или

Каждый элемент матрицы имеет два индекса: первый индекс указывает на номер строки и изменяется от до , а второй — на номер столбца и изменяется от до числа При необходимости индексы можно отделять друг от друга запятой или небольшим интервалом. Это рекомендуется делать, когда индексы могут принимать значения двузначных чисел. Так например из записи непонятно элемент какой строки и какого столбца имеется ввиду, чего не скажешь про Здесь

Элементы образуют ю строку матрицы, а элементы — й столбец.

Про матрицу, имеющую строк и столбцов, говорят, что она является матрицей размера (читается на ).

Для задания матриц размера может использоваться и краткая форма записи

Для обозначения матриц применяются большие буквы латинского алфавита Если необходимо подчеркнуть какой размер имеет матрица, то эта информация указывается в нижнем индексе:

Равенство матриц

На множестве матриц можно ввести отношение равенства. Две матрицы и будем называть равными, если а иначе говоря, матрицы равны, если они имеют одинаковый размер, а также равны их соответствующие элементы. Для обозначения равенства матриц используется знак Если матрица равна матрице то это записывается следующим образом

Введенное отношение равенства матриц является отношением эквивалентности. Действительно, из определения равенства матриц следует, что для этого отношения выполняются условия:
1. Рефлексивность: матрица равна матрице
2. Симметричность: если матрица равна то матрица равна матрице
3. Транзитивность: если матрица равна матрице а матрица равна матрице то матрица равна матрице

Пример 1. Для матриц и укажем значения неизвестных при которых они равны.

Матрицы и имеют одинаковый размер По определению равенства матриц, матрицы и равны, если

Таким образом, матрицы и равны при а также при

Основные виды матриц

Матрицу, состоящую из единственной строки, называют строчной матрицей, используется также название матрица-строка. Таким образом, у строчной матрицы количество строк равно единице а количество столбцов — произвольное ( — множество натуральных чисел).

Матрица-строка имеет вид Например, строчными являются матрицы:

Столбцовая матрица

Матрицу, состоящую из единственного столбца, называют столбцовой матрицей или матрицей-столбцом. Столбцовая матрица имеет вид например:

Часто для обозначения матрицы-столбца используют запись Такая запись указывает читателю на то, что находящиеся в скобках элементы должны располагаться столбцом. Подобные обозначения значительно экономят место при записи столбцовых матриц, например, приведенные выше матрицы могут быть записаны следующим образом

Нулевая матрица

Если нулю равны все элементы матрицы, то ее называют нулевой или нуль-матрицей. Для ее обозначения используется буква с указанием размера. Если размер матрицы виден из ее задания или очевиден, то его можно и не указывать. Ниже приведены примеры нулевых матриц разных размеров:

Нулевая матрица получила свое название также и из-за того, что в матричном исчислении у нее схожие функции с числом нуль в теории чисел.

Квадратная матрица

Особое место среди множества всех матриц занимает класс матриц с равным количеством строк и столбцов, такие матрицы называют квадратными.

При обозначении вместо размера у таких матриц указывается порядок (количество строк (столбцов)):

Рассмотрим квадратную матрицу общего вида

Если соединить прямой верхний левый элемент матрицы с нижним правым, то все элементы, через которые «пройдет» эта диагональ, будут образовывать главную диагональ. Другими словами, главная диагональ состоит из элементов . Если провести вторую диагональ из верхнего правого угла в нижний левый угол матрицы, то получим вторую диагональ квадратной матрицы, ее образуют элементы .

Диагональная матрица

Диагональной является квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю, т.е.

Заметим, что у диагональной матрицы среди элементов главной диагонали могут также быть нули. Для обозначения диагональной матрицы используется запись где в скобках перечисляются элементы главной диагонали матрицы.

Скалярная матрица

Диагональная матрица называется скалярной, если главная диагональ состоит из одного и того же числа:

Единичная матрица

Диагональная матрица, у которой главная диагональ состоит из одних единиц, называется единичной. Каждая единичная матрица является скалярной. Для обозначения такой матрицы используется буква у которой в качестве нижнего индекса может присутствовать порядок матрицы:

Треугольная матрица

Треугольной называется квадратная матрица, у которой выше (ниже) главной диагонали располагаются лишь нулевые элементы. Можно выделить верхнюю треугольную и нижнюю треугольную матрицы:

Транспонированная матрица

Если каждый столбец (строку) матрицы заменить строкой (столбцом) с тем же номером, то полученная матрица будет называться транспонированной к матрице Для обозначения транспонированной матрицы используется запись

Например, для матриц:

транспонированными являются:

Если теперь в транспонированной матрице снова все строки заменить столбцами с теми же номерами, то получим исходную матрицу, а значит

Исторические сведения

Термин «матрица» был введен в середине IXX века английским математиком Джеймсом Сильвестром, хотя, как математический объект они были известны еще в древнем Китае, чуть позже в Индии и у арабских математиков. Первые упоминания о матрицах относятся к древнему Китаю и связаны с «магическими квадратами».

В те времена матрицы еще не имели такого обширного применения, а также не были сформулированы основные операции над матрицами. Прямоугольные таблицы чисел или иных объектов были интересны своими свойствами, нередко люди наделяли их магическими свойствами, использовали в роли оберегов (магический квадрат).

В некоторых культурах матрицы применялись для определения степени близости родства для людей желающих вступить в брак.

Современная трактовка матриц позволила им крепко закрепиться в повсеместной жизни и найти применение как в математике, так и и в физике, экономике, психологии и других науках.

Источник: http://vmatematika.ru/algebra/linejnaya-algebra/matricy-osnovnye-opredeleniya.html

Матрицы. Виды матриц. Основные термины

В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

темы:

Определение матрицы и её элемента. Обозначения

Матрица – это таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы.

Например, матрица $\left( \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$ содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа.

Матрица $\left(\begin{array} {cccc} a & a9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t2-4 & u-t & 8\end{array} \right)$ содержит 2 строки и 4 столбца.

Разные способы записи матриц: показать\скрыть

Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Ниже указана одна и та же матрица в различных формах записи:

$$ \left( \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right);\;\; \left[ \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right]; \;\; \left \Vert \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right \Vert $$

Произведение $m\times n$ называют размером матрицы. Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера $5\times 3$. Матрица $\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ имеет размер $3 \times 2$.

Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$ и так далее. Например, $B=\left( \begin{array} {ccc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$. Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов – слева направо. Например, первая строка матрицы $B$ содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.

Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы $A$ обозначаются $a_{ij}$. Двойной индекс $ij$ содержит информацию о положении элемента в матрице.

Число $i$ – это номер строки, а число $j$ – номер столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$.

Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы $A=\left( \begin{array} {cccccc} 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end{array} \right)$ расположен элемент $a_{25}=59$:

Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент $a_{11}=51$; на пересечении третьей строки и второго столбца – элемент $a_{32}=-15$ и так далее. Замечу, что запись $a_{32}$ читается как “а три два”, но не “а тридцать два”.

Для сокращённого обозначения матрицы $A$, размер которой равен $m\times n$, используется запись $A_{m\times n}$. Нередко используется и такая запись:
$$ A_{m\times{n}}=(a_{ij}) $$

Здесь $(a_{ij})$ указывает на обозначение элементов матрицы $A$, т.е. говорит о том, что элементы матрицы $A$ обозначаются как $a_{ij}$. В развёрнутом виде матрицу $A_{m\times n}=(a_{ij})$ можно записать так:

$$ A_{m\times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) $$

Введём еще один термин – равные матрицы.

Две матрицы одинакового размера $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называются равными, если их соответствующие элементы равны, т.е. $a_{ij}=b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.

Пояснение к записи $i=\overline{1,m}$: показать\скрыть

Запись “$i=\overline{1,m}$” означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline{1,5}$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов.

Например, матрица $A=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ не равна матрице $B=\left(\begin{array}{cc} 8 & -9\\0 & -87 \end{array}\right)$, поскольку матрица $A$ имеет размер $3\times 2$, а размер матрицы $B$ составляет $2\times 2$.

Также матрица $A$ не равна матрице $C=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$, поскольку $a_{21}eq c_{21}$ (т.е. $0eq 98$). А вот для матрицы $F=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ можно смело записать $A=F$ поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц $A$ и $F$ совпадают.

Пример №1

Определить размер матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \\ 4 & 0 & -10 \\ \end{array} \right)$. Указать, чему равны элементы $a_{12}$, $a_{33}$, $a_{43}$.

Решение

Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её $5\times 3$. Для этой матрицы можно использовать также обозначение $A_{5\times 3}$.

Элемент $a_{12}$ находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому $a_{12}=-2$. Элемент $a_{33}$ находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому $a_{33}=23$. Элемент $a_{43}$ находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому $a_{43}=-5$.

Ответ: $a_{12}=-2$, $a_{33}=23$, $a_{43}=-5$.

Виды матриц в зависимости от их размера. и побочная диагонали. След матрицы

Пусть задана некая матрица $A_{m\times n}$. Если $m=1$ (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют матрица-строка.

Если же $n=1$ (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют матрица-столбец.

Например, $\left( \begin{array} {ccccc} -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end{array} \right)$ – матрица-строка, а $\left( \begin{array} {c} -1 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right)$ – матрица-столбец.

Если для матрицы $A_{m\times n}$ верно условие $meq n$ (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что $A$ – прямоугольная матрица.

Например, матрица $\left( \begin{array} {cccc} -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end{array} \right)$ имеет размер $2\times 4$, т.е. содержит 2 строки и 4 столбца.

Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной.

Если для матрицы $A_{m\times n}$ верно условие $m=n$ (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что $A$ – квадратная матрица порядка $n$.

Например, $\left( \begin{array} {cc} -1 & -2 \\ 5 & 9 \end{array} \right)$ – квадратная матрица второго порядка; $\left( \begin{array} {ccc} -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end{array} \right)$ – квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу $A_{n\times n}$ можно записать так:

$$ A_{n\times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) $$

Говорят, что элементы $a_{11}$, $a_{22}$, $\ldots$, $a_{nn}$ находятся на главной диагонали матрицы $A_{n\times n}$. Эти элементы называются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами).

Элементы $a_{1n}$, $a_{2 \; n-1}$, $\ldots$, $a_{n1}$ находятся на побочной (второстепенной) диагонали; их называют побочными диагональными элементами.

Например, для матрицы $C=\left(\begin{array}{cccc}2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end{array}\right)$ имеем:

Элементы $c_{11}=2$, $c_{22}=9$, $c_{33}=4$, $c_{44}=6$ являются главными диагональными элементами; элементы $c_{14}=1$, $c_{23}=8$, $c_{32}=0$, $c_{41}=-4$ – побочные диагональные элементы.

Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы и обозначается $\Tr A$ (или $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn} $$

Например, для матрицы $C=\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\-4 & -9 & 5 & 6 \end{array}\right)$ имеем:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы $B=\left( \begin{array} {ccccc} 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 \end{array} \right)$ главными диагональными элементами будут $b_{11}=2$, $b_{22}=-9$, $b_{33}=4$.

Виды матриц в зависимости от значений их элементов

Если все элементы матрицы $A_{m\times n}$ равны нулю, то такая матрица называется нулевой и обозначается обычно буквой $O$. Например, $\left( \begin{array} {cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$, $\left( \begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ – нулевые матрицы.

Рассмотрим некоторую ненулевую строку матрицы $A$, т.е. такую строку, в которой есть хоть один элемент, отличный от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки назовём её первый (считая слева направо) ненулевой элемент. Для примера рассмотрим такую матрицу:

$$W=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end{array}\right)$$

Во второй строке ведущим будет четвёртый элемент, т.е. $w_{24}=12$, а в третьей строке ведущим будет второй элемент, т.е. $w_{32}=-9$.

Матрица $A_{m\times n}=\left(a_{ij}\right)$ называется ступенчатой, если она удовлетворяет двум условиям:

1. Нулевые строки, если они есть, расположены ниже всех ненулевых строк.
2. Номера ведущих элементов ненулевых строк образуют строго возрастающую последовательность, т.е. если $a_{1k_1}$, $a_{2k_2}$, …, $a_{rk_r}$ – ведущие элементы ненулевых строк матрицы $A$, то $k_1\lt{k_2}\lt\ldots\lt{k_r}$.

Примеры ступенчатых матриц:

$$ \left(\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right);\; \left(\begin{array}{cccc} 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end{array}\right). $$

Для сравнения: матрица $Q=\left(\begin{array}{ccccc} 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end{array}\right)$ не является ступенчатой, так как нарушено второе условие в определении ступенчатой матрицы.

Ведущие элементы во второй и третьей строках $q_{24}=7$ и $q_{32}=10$ имеют номера $k_2=4$ и $k_3=2$. Для ступенчатой матрицы должно быть выполнено условие $k_2\lt{k_3}$, которое в данном случае нарушено.

Отмечу, что если поменять местами вторую и третью строки, то получим ступенчатую матрицу: $\left(\begin{array}{ccccc} 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end{array}\right)$.

Ступенчатую матрицу называют трапециевидной или трапецеидальной, если для ведущих элементов $a_{1k_1}$, $a_{2k_2}$, …, $a_{rk_r}$ выполнены условия $k_1=1$, $k_2=2$,…, $k_r=r$, т.е. ведущими являются диагональные элементы. В общем виде трапециевидную матрицу можно записать так:

$$ A_{m\times{n}} =\left(\begin{array} {cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1r} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2r} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{rr} & \ldots & a_{rn}\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end{array}\right) $$

Примеры трапециевидных матриц:

$$ \left(\begin{array}{cccccc} 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right);\; \left(\begin{array}{cccc} 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end{array}\right). $$

Дадим ещё несколько определений для квадратных матриц. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют верхней треугольной матрицей.

Например, $\left( \begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)$ – верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали.

Они могут быть нулевыми или нет, – это несущественно. Например, $\left( \begin{array} {ccc} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ – тоже верхняя треугольная матрица.

Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют нижней треугольной матрицей. Например, $\left( \begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \end{array} \right)$ – нижняя треугольная матрица.

Заметьте, что в определении нижней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных под или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это неважно.

Например, $\left( \begin{array} {ccc} -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end{array} \right)$ и $\left( \begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ – тоже нижние треугольные матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: $\left( \begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)$. Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), – это несущественно.

Диагональная матрица называется единичной, если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, $\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ – единичная матрица четвёртого порядка; $\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ – единичная матрица второго порядка.

Онлайн-занятия по высшей математике

Источник: https://math1.ru/education/matrix/matrix.html