Уравнения высших степеней методы решения с примерами. Решение уравнений высших степеней

Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари

Уравнения высших степеней методы решения с примерами. Решение уравнений высших степеней

Справочник по математикеАлгебраУравнения четвертой степени

      Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

a0x4 + a1x3 + a2x2 ++ a3x + a4 = 0,(1)

где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем

      Метод Феррари состоит из двух этапов.

      На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

      На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x4 + ax3 + bx2 ++ cx + d = 0,(2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

      Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

(4)

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y4 + py2 + qy + r = 0,(5)

где p, q, r – вещественные числа.

      Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

      Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy2 + s2,

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

      Следовательно, уравнение (5) принимает вид

(6)

      Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

(7)

то уравнение (6) примет вид

(8)

      Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, – в виде

(9)

      Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

      Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

      Действительно,

      Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

(10)

а также квадратное уравнение

(11)

      Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

      Пример. Решить уравнение

x4 + 4×3 – 4×2 –– 20x – 5 = 0.(12)

      Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

      Поскольку

x4 + 4×3 – 4×2 – 20x – 5 =
= (y – 1)4 + 4(y – 1)3 –
– 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 =
= y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 +
+ 4y3 – 12y2 + 12y – 4 –
– 4y2 + 8y – 4 –
– 20y + 20 – 5 =
= y4 – 10y2 – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0.(14)

      В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10,      q = – 4,       r = 8.(15)

      В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0.(16)

      Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y2 – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

(18)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y2 + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

(19)

      В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Ответ.

      Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

y4 – 10y2 – 4y + 8 == (y2 – 2y – 4) (y2 ++ 2y – 2).(20)

      Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/ferrary.htm

Урок Алгебры

Уравнения высших степеней методы решения с примерами. Решение уравнений высших степеней

Наша кнопка

Скачать материал

«Методы решения уравнений высших степеней»

( Киселёвские чтения)

Учитель математики Афанасьева Л.А

МКОУ Верхнекарачанская СОШ

Грибановского района, Воронежской области

2015 год

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.

Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний не последнее место принадлежит умению решать уравнения.

Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения. Около 4000 лет назад вавилонские ученые владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, из которых одно – второй степени.

С помощью уравнений решались разнообразные задачи землемерия, архитектуры и военного дела, к ним сводились многие и разнообразные вопросы практики и естествознания, так как точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Уравнение одно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. И сегодня на уроках математики, начиная с первой ступени обучения, решению уравнений различных видов уделяется большое внимание.

Универсальной формулы для нахождения корней алгебраического уравнения n – ой степени нет. Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, то есть, решали бы уравнение в радикалах.

Однако «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи – в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашёл! Только в 16 веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше – найти формулы для n=3 и n=4.

Одновременно вопросом об общем решении уравнений 3-й степени занимались Сципион Даль Ферро, его ученик Фиори и Тарталья.

В 1545 году вышла книга итальянского математика Д Кардано «Великое искусство, или О правилах алгебры», где наряду с другими вопросами алгебры рассматриваются общие способы решения кубических уравнений, а так же метод решения уравнений 4 – й степени, открытый его учеником Л. Феррари.

Полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений 3-й 4-й степеней, дал Ф. Виет. А в 20-х годах 19 века норвежский математик Н. Абель доказал, что корни уравнений 5-й и более высоких степеней не могут быть выражены через радикалы.

Процесс отыскания решений уравнения заключается обычно в замене уравнения равносильным. Замена уравнения равносильным основана на применении четырёх аксиом:

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.

Поскольку левая часть уравнения Р(х) = 0 представляет собой многочлен n-й степени, то полезно напомнить следующие утверждения:

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.

2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Если α – корень Р(х), то Рn (х) = (х – α)·Qn – 1(x), где Qn – 1(x) – многочлен степени (n – 1).

4. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6. Для многочлена третьей степени

Р3(х) = ах3 + bx2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р3(x) = а (х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р3(x) = а(х – α)(х2 + βх + γ).

7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

8. Многочлен f (x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x)·q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».

9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).

10. Теорема Виета: Если х1, х2, …, хn – действительные корни многочлена

Р(х) = а0хn + а1хn – 1 + … + аn, то имеют место следующие равенства:

х1 + х2 + … + хn = -а1/а0,

х1 · х2 + х1 · х3 + … + хn – 1 · хn = a2/а0,

х1 · х2 · х3 + … + хn – 2 · хn – 1 · хn = -a3/а0,

х1 · х2 · х3 · хn = (-1)n an/а0.

Решение примеров

Пример 1. Найти остаток от деления Р(х) = х3 + 2/3 x2 – 1/9 на (х – 1/3).

Решение. По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.

Ответ: R = 0.

Пример 2. Разделить «уголком» 2х3 + 3×2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.

Решение:

2х3 + 3×2 – 2х + 3| х + 2

2х3 + 4×2 2×2 – x

-x2 – 2x

-x2 – 2x

3

Ответ: R = 3; частное: 2х2 – х.

Основные методы решения уравнений высших степеней

1. Введение новой переменной

Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = xn или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни: (t1, t2, …, tn). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t1, q(x) = t2, … , q(x) = tn, из которых находят корни исходного уравнения.

Пример ; (х2 + х + 1)2 – 3х2 – 3x – 1 = 0.

Решение: (х2 + х + 1)2 – 3х2 – 3x – 1 = 0.

(х2 + х + 1)2 – 3(х2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х2 + х + 1) = t.

t2 – 3t + 2 = 0.

t1 = 2, t2 = 1. Обратная замена:

х2 + х + 1 = 2 или х2 + х + 1 = 1;

х2 + х – 1 = 0 или х2 + х = 0;

Из первого уравнения: х1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

Метод введения новой переменной находит применение при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида а0хn+ а1хn – 1 + .. + а n – 1х + аn=0, в котором коэффициенты членов уравнения, одинаково отстоящих от начала и конца, равны.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Пример: х4 – 3×2 + 4х – 3 = 0.

Решение. Представим – 3×2 = -2×2 – x2 и сгруппируем:

(х4 – 2×2) – (x2 – 4х + 3) = 0.

(х4 – 2×2 +1 – 1) – (x2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х2 – 1)2 – 1 – (x – 2)2 + 1 = 0.

(х2 – 1)2 – (x – 2)2 = 0.

(х2 – 1 – х + 2)(х2 – 1 + х – 2) = 0.

(х2 – х + 1)(х2 + х – 3) = 0.

х2 – х + 1 = 0 или х2 + х – 3 = 0.

В первом уравнении нет корней, из второго: х1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множители методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Пример: х3 + 4×2 + 5х + 2 = 0.

Решение. Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х3 + 4×2 + 5х + 2 = (х – а)(x2 + bх + c),

х3 + 4×2 + 5х + 2 = х3 +bx2 + cх – ax2 – abх – ac,

х3 + 4×2 + 5х + 2 = х3 + (b – a)x2 + (c – ab)х – ac.

Решив систему: u0004u0005

получим u0004u0005

х3 + 4×2 + 5х + 2 = (х + 1)(x2 + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.

Ответ: -1; -2.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а0, а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Пример: 6х3 + 7×2 – 9х + 2 = 0.

Решение:

2 : p = ±1, ±2

6 : q = 1, 2, 3, 6.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.

Ответ: -2; 1/2; 1/3.

5. Графический метод.

Данный метод состоит в построении графиков и использовании свойств функций.

Пример: х5 + х – 2 = 0

Представим уравнение в виде х5 = – х + 2. Функция у = х5 является возрастающей, а функция у = – х + 2 – убывающей. Значит, уравнение х5 + х – 2 = 0 имеет единственный корень -1.

6.Умножение уравнения на функцию.

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножили уравнение.

Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получить равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Пример.Решить уравнение:

X8 – X6 + X4 – X 2 + 1 = 0. (1)

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х2 + 1, не имеющий корней, получим уравнение:

(Х2 +1) (Х8 – Х 6 + Х4 – Х 2 + 1) = 0 (2)
равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде:

Х10 + 1= 0 (3)
Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не имеет.

Ответ: нет решений.

Кроме названных методов решения уравнений высших степеней существуют и другие. Например, выделение полного квадрата, схема Горнера, представление дроби в виде двух дробей. Из общих методов решения уравнений высших степеней, которые встречаются чаще всего, используют: метод разложения левой части уравнения на множители;

метод замены переменной (метод введения новой переменной); графический способ. С этими методами мы знакомим учащихся 9 класса при изучении темы «Целое уравнение и его корни». В учебнике Алгебра 9 (авторы Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.

Г и др) последних годов издания достаточно подробно рассматриваются основные методы решения уравнений высших степеней. Кроме этого в разделе «Для тех, кто хочет знать больше», на мой взгляд, доступно излагается материал о применении теорем о корне многочлена и целых корнях целого уравнения при решении уравнений высших степеней.

Хорошо подготовленные ученики с интересом изучают этот материал, а затем представляют одноклассникам решённые уравнения.

Практически всё, что окружает нас, связано в той или иной мере с математикой. А достижения в физике, технике, информационных технологиях только подтверждают это. И что очень важно – решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Листать вверх Листать вниз Скачивание материала начнется через 51 сек.

Ещё документы из категории алгебра:

Источник: https://doc4web.ru/algebra/urok-algebri-metodi-resheniya-uravneniy-visshih-stepeney.html

Уравнения высших степеней

Уравнения высших степеней методы решения с примерами. Решение уравнений высших степеней

Замечание 1

Уравнения высших степеней — это уравнения, в которых старшая степень при переменной больше либо равна трём. На данный момент не существует какой-либо единой схемы для решения уравнений высших степеней.

Наиболее известными схемами для решения являются:

  • Формула Кардано, он подходит только для уравнений 3-ьей степени;
  • Метод Феррари для уравнений 4-ой степени;
  • Теорема Виета для степени больше двух;
  • Теорема Безу;
  • Схема Горнера.

Ниже рассмотрены основные методы решения уравнений высших степеней с целыми и рациональными коэффициентами, справедливые для разных степеней.

Теорема Виета

Рассмотрим уравнение вида $ax3+bx2+cx+d=0$.

Данное уравнение обладает тремя корнями и для того чтобы его решить в общем виде, необходимо решить следующую систему:

$\begin{cases} x_1 + x_2+x_3=-\frac{b}{a} \\ x_1x_2 + x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a} \\ x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} \\ \end{cases}$

Иначе эти системы уравнений также называют формулами Виета.

Пример 1

Решите уравнение: $x3+x2-4x-4=0$.

Решение:

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x_1+ x_2+x_3=-\frac{1}{1} \\ x_1 \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_3=-\frac{4}{1}=-4 \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3= -\frac{4}{1}\\ \end{cases}$

Решив её, получим следующие корни:

$\begin{cases} x_1=-2 \\ x_2=2 \\ x_3=-1 \\ \end{cases}$

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Теорема Безу

Суть этой теоремы в том, что если уравнение вида $a_0xn + a_1x{n-1}+a_2x{n-2]}+…+a_{n-1}x+a_n=0$ с ненулевым свободным членом имеет некий корень $α$, принадлежащий к множеству целых чисел, то этот корень будет делителем свободного члена.

Алгоритм при решении уравнения с использованием теоремы Безу следующий:

  1. Найти и выписать все делители свободного члена.
  2. Проверять эти делители до тех пор, пока не будет найден хотя бы один, являющийся корнем уравнения.
  3. Разделить всё уравнение на $(x-α)$ и записать само уравнение как произведение $(x-α)$ и результата выполненного деления.
  4. Решить полученное после разложения уравнение.

Пример 2

Решите: $x3+4×2+x-6=0$

Решение:

Делители члена не при переменной: $±1;±2;±3;±6$

Подставим $1$ в корень уравнения и получим, что наше равенство выполняется:

$13+4 \cdot 12+1-6=0$

Следовательно, $x_1=1$ — один из корней уравнения.Теперь необходимо выполнить деление многочлена столбиком:

Рисунок 1. Схема деления многочлена столбиком. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

После этого исходное уравнение можно записать разложив на множители:

$(x-1)(x2+5x+6)=0$

Решаем полученное квадратное уравнение и получаем ещё 2 корня: $x_{2,3}=-3;-2$.

Схема Горнера

Схема Горнера состоит в том, чтобы также сначала найти какой-либо корень уравнения вида $a_0xn + a_1x{n-1}+a_2x{n-2]}+…+a_{n-1}x+a_n=0$ через делители свободного члена.

После этого составляется специальная таблица с результатами деления на $(x-α)$, в которой каждый член зависим от предыдущего. Коэффициенты из данной таблицы используются как коэффициенты в полученном от деления частного многочлене, они вычисляются по формулам:

$b_0=a_0; b_1=αb_0+a_1; b_2=αb_1+a_2…b_{n-1}= αb_{n-2}+a_{n-1};b_n=αb_{n-1}+a_n$.

Рисунок 2. Таблица для вычисления коэффициентов по схеме Горнера. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Решить: $x3+4×2+x-6=0$.

Решение:

Делители свободного члена — $±1;±2;±3;±6$

Запишем таблицу со коэффициентами:

Рисунок 3. Схема Горнера: пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Отсюда получаем, что многочлен, полученный от деления на $(x-α)$ при $α=1$, равен $x2+5x+6$.Получается, что исходное уравнение принимает вид:

$(x-1) \cdot ( x2+5x+6)=0$.

Корни же второго многочлена будут $x_{2,3}=-2;-3$.

Метод одновременного подбора по коэффициенту при старшей степени и при свободном члене

Данный метод основан на следующем условии:

Определение 1

Несократимая дробь $\frac{p}{q}$ будет корнем уравнения, если числитель этой дроби является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем коэффициента, стоящего при члене со старшей степенью.

Алгоритм этого метода:

  1. Поиск делителей свободного члена.
  2. Поиск делителей коэффициента, стоящего при члене со старшей степенью.
  3. Составление дробей и подбор решения.

Пример 4

Решите: $2×4+17×3-17×2-8x+6=0$.

Решение:

Делители свободного члена: $±1; ±2; ±3; ±6$.

Делители коэффициента при старшем члене: $1; 2$.

Следовательно, как корни нужно проверить следующие значения: $1;-1;2;-2;3;-3;6;-6;\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; -\frac{3}{2}$.

Подставив эти числа в уравнения, получим, что корнями уравнения являются $x_1=1;x_2= \frac{1}{2}$.

Это значит, что многочлен можно разделить на $2(x-1)(x-\frac{1}{2})=2×2-3x+1$. При выполнении деления получаем частное $x2+10x+6$.

Приравниваем этот многочлен к нулю и находим его корни через дискриминант, они равны $x_{3,4}=-5±\sqrt{19}$.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/uravneniya_vysshih_stepeney/

Алгебраические уравнения высших степеней

Уравнения высших степеней методы решения с примерами. Решение уравнений высших степеней

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Алгебраические уравнения высших степеней

Сборник-самоучитель

Составитель Волкова Н.О. Руководитель Будко Л.Ф.

МБОУ СОШ №1, х. Маяк. 2014г.

Оглавление

I Введение……………………………………3

II Нестандартные способы решения квадратныхуравнений…………………………………….4-8

III Решение уравнений высших степеней

3.1Способы разложения на множителигруппировкой…..……………………………9-11

3.2ТеоремаБезу…………………………….12-22

3.3.Метод неопределённыхкоэффициентов…………………………..…23-24

3.4.Введениеновой переменной…………..25-29

3.4 Применение формул сокращённогоумножения…………………………………..30-33

3.5Применение теоремы Виета……………… 34

IV

4.1Длясамостоятельного решения…………35-36

Заключение……………………………………..37

Литература………………………………………38

Аннотация

Каждый выпускник основной школыдолжен уметь решать алгебраическиеуравнения первой и второй степени,иначе, он не преодолеет порог в восемьбаллов на ГИА по математике.

В последнеевремя уравнения вышевторой степени являются частью выпускныхэкзаменов за курс основной и среднейшколы, они встречаются навступительных экзаменах в ВУЗы.

Такиеуравнения называются уравнениями высшихстепеней, изучение их выходит за рамкипрограммы средней школы.

Материал данного сборникапредназначен для самообразования учеников, которые любят математику ихотят знать больше.

В сборнике представлено 25 задачс решениями. Причём, решение каждогоследующего задания отличается отпредыдущего дополнительным «шагом» врешении, что заставляет , каждый раз,расширять теоретические знания по этойтеме.

Этот материал можно использовать также дляэлективных занятий по математике в9-11 классах.

II

Нестандартные способы решенияквадратных уравнений

Общийвид квадратного уравнения – ах2+bx+c=0, где a≠0,b,c–любые числа.

Прирешении квадратных уравнений можноиспользовать различные методы: разложениена множители, выделение полного квадрата, по формулам корней квадратного уравнения,по теореме Виета, графический способ, метод введения новой переменной (прирешении биквадратных уравнений иуравнений, сводящихся к квадратным).

Решитьуравнение (2х2-х-1)(2х2-х-5)-5=0.

Решение:

введёмновую переменную t=2х2-х,тогда (t-1)(t-5)-5=0,

t2-6t=0, t(t-6)=0, t=0, t=6. Вернёмся к исходной переменной.

1.2х2-х=0,х(2х-1)=0, х=0, х=. 2. 2х2-х=6, 2х2-х-6=0, D=49,х1=2, х2=-.

Ответ.х=0, х=, х=2, х=-.

Методкоэффициентов для квадратных

уравнений

Зависимость между коэффициентами или вид квадратного уравнения

Формулы корней

1.

a+b+c=0

х1=1, х2=

2.

b= a+c

х1= -1, х2=

3.

ax2+(a2+1)x+a=0

х1=-а, х2 =

4.

ax2 – (a2+1)x+a=0

х1= а, х2 =

5.

ax2+(a2+1)x- a=0

х1=-а, х2 =

6.

ax2 – (a2+1)x – a=0

х1= а, х2 =

7.

ах2 +bx +c=0 → у2+by+ c∙a=0

х1=, х2 =

1.Если a+b+c=0,то х1=1,х2=.

Пример.

Решитьуравнение: 538х+841-1379=0.

Решение: введём новую переменную у =,получим уравнение538у2+841у -1379=0, Сумма его коэффициентов равнанулю (538+841 -1379=0), значит 1 –корень уравнения.Так как 1∙у2 =-1379 ( по теореме Виета), то второй кореньуравнения – отрицательное число. Егонаходить нет смысла, поскольку уравнение =ане имеет действительных корней приа=1,х=1.

Ответ:х=1.

2

Пример.

. Если b=a+c,то х1=-1, х2=.

Решитьуравнение: 1784х2+ 583х -1201=0.

Решение:а=1784, b=583,c=-1201,b=a+c(1784+(-1201)=583),значит, х1=-1,х2=,х2=. Ответ: х1=-1, х2=.

3

Пример.

.Если уравнение имеет видax2+(a2+1)x+a=0,то х1=-а,х2=.

Решитьуравнение 13×2+170x+13=0.

Решение:a=13,b=(132+1)= 170,c=13. Выполняется зависимость междукоэффициентами: b=a2+1,a=c.Используем формулы х1=-а,х2 =,получим

х=-13, х2=. Ответ: х =-13,х2=.

4.Вуравнении вида ax2– (a2+1)x+a=0 х1=а, х2=.

Пример.

Решитьуравнение 21×2- 442x+21=0.

Решение:a=21,b=-(212+1)= 442,c=21. Выполняется зависимость междукоэффициентами: b=-(a2+1),a=c.Используем формулы х1=а,х2 =,получим

х=21, х2=.

Ответ:х =21, х2=.

5

Пример.

.В уравнении вида ax2+(a2+1)xa=0 х1=-а,х2=.

Решитьуравнение 17×2+290x- 17=0.

Решение:a=17,b=(172+1)=290,c=-17. Выполняется зависимость междукоэффициентами: b=a2+1,a=-c.Используем формулы х1=-а,х2 =,получим

х=-17, х2=.

Ответ:х =-17, х2=.

6.Еслиуравнение имеет вид ax2– (a2+1)xa=0,то х1=а, х2=.

Решитьуравнение 34×2-1156x- 34=0.

Решение:a=34, b=-(342+1)= 1156,c=-34. Выполняется зависимость междукоэффициентами: b=-(a2+1),a=-c.Используем формулы х1=а,х2 =,получим х1=34, х2=. Ответ: х=34, х =.

7.Приём «переброски» старшего коэффициента

Решитьуравнение 7х2 -12х+ 5=0.

Решение:«перебросим» старший коэффициент иполучим уравнение

у2-12у+35=0,по т. Виета у1=5,у2=7. Воспользуемся формулами х1=,х2 =иполучим х1=,х2= 1.

Ответ: х1=,х2= 1.

Решениеуравнений высших степеней

3.1Способы разложения на множителигруппировкой.

1.Неполныекубические уравнения.

а). d=0,с=0, b=0, ах3=0,x=0.

б).d=0,с=0, ах3+bx2=0, x2(ах+b)=0, x=0, ax+b=0,x=.

в).

d=0, ах3+bx2+cx=0, x(ах2+bx+c)=0,x=0,ах2+bx+c=0, х1,2=.

г).

d=0,b=0, ах3+cx=0, x(ах2+c)=0,x=0,ах2+c=0, x2=.Если >0,тох1,2=.Если

д). b=0, ах3+cx+d=0,

e).с=0, ах3+bx2+d=0.

Прирешении выше перечисленных видовуравнений многочлен в левой части можно разложить на множители. В уравнениях1(а-г)─ путём вынесения общего множителяза скобки. В уравнениях 1(д,е) и 2 – этогруппировка, и, в конечном итоге, вынесениеобщего множителя.

Пример1.

Решитьуравнение вида 1(д) -х3+16х-15=0.

2.х(х+1)+15=0, х2+х+15=0, D=61,х1,2=.

Ответ.х=1, х1,2=.

Решитьуравнение вида 1(е) 2х3+х2-3=0.

Решение:

Преобразуем левую часть:

3х3-х3+х2-3=0,(3х3-3)+(-х3+х2)=0,

3(х3-1)-х2(х-1)=0, 3(х-1)(х2+х+1)-х2( х-1)=0,

(х-1)(3(х2+х+1)-х2)=0,

х-1=0, 3х2+3х+3- х2=0,2х2+3х+3=0, D=-15, действительных корней нет.

Ответ.х=1.

2.Полныекубические уравнения.

ах3+bx2+cx+d=0,а≠0

Решитьуравнение -6х3-х2+5х+2=0

Решение:

Преобразуем левую часть: (-6х3-3х2)+3х2-х2+5х+2=0, -3х2(2х+1)+(2х2+х)+(4х+2)=0, -3х2(2х+1)+ х(2х+1) + 2(2х+1)=0, (2х+1)( -3х2+х+2)=0,

2х+1=0,х=-. -3х2+х+2=0, D=25, х1=1, х2= -. Ответ. х=1,х = -,х = -.

Решитьуравнение вида ах3+bх2+bх+а=0.Такие уравнения называют возвратными.Они обладают своеобразной «симметрией»: коэффициент при х3 равен свободному члену, коэффициентпри х2 равенкоэффициенту при х. Возвратные уравнения также решаются с помощью разложенияна множители.[3]

Решение:4х3-6х2-6х+4=0,4(х3+1)-

6(х2+х)=0, 4(х+1)(х2-х+1)-6х(х+1)=0,

(х+1)(4х2-4х+4-6х)=0,(х+1)( 4х2-10х+4)=0,х+1 =0, 4х2-10х+4=0,

х=-1,х=2,х=. Ответ. х=-1,х=2,х=.

3.2 Cпособразложения на множители очень эффективный,но при видимой простоте группировкиочень не просто выбрать слагаемые дляее проведения. Универсальных способовнет, так что приходится каждый разэкспериментировать.

Теорема Безу.Остаток от деления многочлена Рn(х) на двучлен х-а равен значению этого многочлена при х=а, т.е. Р(а)=R.

Следствие1. Если х=а ─корень уравнения Рn(х)=0, то R=0 и многочлен Рn(х) делится на двучлен х-а.

Следствие 2. Если многочлен Рn(х) делится на двучлен х-а, то

х=а ─ корень уравнения Рn(х)=0. [3]

Другойспособ разложения левой части уравненияах3+bx2+cx+d=0,а≠0 на множители – применить теоремуБезуи следствия из этой теоремы.

Чтобыиспользовать теорему Безу и следствия,необходимо изучить тему: «Делениемногочленов нацело» инаучиться делить многочлены «уголком».

Разделитьмногочлен на многочлен .

Делениеможно выполнять уголком.

Остатокравен 0, поэтому многочлен делится нацело на многочлен .В результате деления многочленов такжеполучился многочлен. Итак,

Пример1.

Выполнить деление многочленов:

(х3-3х-2):(х+1).

Решение:

Процесс деления продолжается до тех пор, покаостаток не будет равен нулю или степеньочередного остатка не окажется меньшестепени делителя.

Процессподбора корня облегчает теорема.

Если уравнение

а0хn+a1xn-1+a2xn-2

+an-2x+an =0 c целыми коэффициентами а0,a1 ,a2, …,an-2,an,где а0≠0, имеет целые корни, то этот корень является делителем числа an (свободного члена). [3]

Источник: https://gigabaza.ru/doc/143947.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.