Программа для нахождения центра тяжести сложной фигуры. Положения центра тяжести некоторых фигур

Техническая механика



Наиболее часто для нахождения центра тяжести тела или фигуры применяют следующие методы:

• метод симметрии;
• метод разбиения;
• метод отрицательных масс.

Рассмотрим приемы, применяемые в каждом из перечисленных методов.

***

Метод симметрии

Представим себе однородное тело, которое имеет плоскость симметрии. Выберем такую систему координат, чтобы оси x и z лежали в плоскости симметрии (см. рисунок 1).

В этом случае каждой элементарной частице силой тяжести Gi с абсциссой yi = +a соответствует такая же элементарная частица с абсциссой yi = -a, тогда:

yC = Σ(Gixi)/ΣGi = 0.

Отсюда вывод: если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.

Аналогично можно доказать и следующие положения:

• Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси;
• Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести тела находится в точке их пересечения;
• Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

***

Метод разбиения

Этот метод заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны, после чего применяют приведенные ранее формулы для определения общего центра тяжести тела.

Допустим, что мы разбили тело силой тяжести G на три части G', G'', G''', абсциссы центров тяжести этих частей x'C, x''C, x'''C известны.
Формула для определения абсциссы центра тяжести всего тела:

xC = Σ(Gixi)/ΣGi.

Перепишем ее в следующем виде:

xCΣGi = Σ(Gixi)     или     GxC = Σ(Gixi).

Последнее равенство запишем для каждой из трех частей тела отдельно:

G'x'C = Σ(G'x'i),     G''x''C = Σ(G''ix''i),     G'''x'''C = Σ(G'''ix'''i).

Сложив левые и правые части этих трех равенств, получим:

Но правая часть последнего равенства представляет собой произведение GxC, так как

GxC = Σ(Gixi),

Следовательно, xC = (G'x'C + G''x''C + G'''x'''C)/G, что и требовалось доказать.
Аналогично определяются координаты центра тяжести на координатных осях y и z:

yC = (G'y'C + G''y''C + G'''y'''C)/G,
zC = (G'z'C + G''z''C + G'''z'''C)/G.

Полученные формулы аналогичны формулам для определения координат цента тяжести, выведенные выше. Поэтому в исходные формулы можно подставлять не силы тяжести элементарных частиц Gi, а силы тяжести конечных частей; под координатами xi, yi, zi понимают координаты центров тяжести частей, на которые разбито тело.

***

Метод отрицательных масс

Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, считают сплошным, а массу свободных полостей – отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести тела при этом не меняется.

Таким образом, при определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу полостей отрицательной.

***

Практические методы определения центра тяжести тел

На практике для определения центра тяжести плоских тел сложной формы часто применяют метод подвешивания, который заключается в том, что плоское тело подвешивают на нити за какую-нибудь точку.

Прочерчивают вдоль нити линию, и тело подвешивают за другую точку, не находящуюся на полученной линии. Затем вновь проводят линию вдоль нити.

Точка пересечения двух линий и будет являться центром тяжести плоского тела.

Еще один способ определения центра тяжести, применяемый на практике, называется метод взвешивания. Этот метод часто применяется для определения центра тяжести крупных машин и изделий – автомобилей, самолетов, колесных тракторов и т. п., которые имеют сложную объемную форму и точечную опору на грунт.

Метод заключается в применении условий равновесия, исходя из того, что сумма моментов всех сил, действующих на неподвижное тело равна нулю.

Практически это осуществляется взвешиванием одной из опор машины (задние или передние колеса устанавливаются на весы), при этом показания весов, по сути, являются реакцией опоры, которая учитывается при составлении уравнения равновесия относительно второй точки опоры (находящейся вне весов).

По известной массе (соответственно – весу) тела, показанию весов в одной из точек опоры, и расстоянию между точками опоры можно определить расстояние от одной из точек опоры до плоскости, в которой расположен центр тяжести.

Чтобы найти подобным образом линию (ось), на которой расположен центр тяжести машины, необходимо произвести два взвешивания по принципу, изложенному выше для метода подвешивания (см. рис. 1а).

***



Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии, то центр тяжести его площади находится в точке пересечения этих осей, иначе говоря, в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Треугольник. Пусть дан треугольник АBD (см. рисунок 2).
Разобьем его на элементарные (бесконечно узкие) полоски, параллельные стороне AD. Центр тяжести каждой полоски будет лежать на медиане Bd (т. е.

в середине каждой полоски), следовательно, на этой медиане будет лежать и центр тяжести всей площади треугольника. Разбив треугольник на элементарные полоски, параллельные стороне AB, увидим, что искомый центр тяжести лежит и на медиане aD.

Проделав аналогичное действие с треугольником относительно стороны ВD, получим тот же результат – центр тяжести находится на соответствующей медиане.

Следовательно, центр тяжести всей площади треугольника лежит на точке пересечения его медиан, поскольку эта точка является единственной общей точкой для всех трех медиан данной геометрической фигуры.

Дуга окружности. Возьмем дугу окружности АВ радиусом R с центральным углом 2α (см. рисунок 3). Систему координат выберем так, чтобы начало координат было в центре окружности, а ось x делила дугу пополам, тогда yC = 0 вследствие симметрии дуги относительно оси x. Определим координату центра тяжести xC.

Разобьем дугу АВ на элементарные части li, одна из которых изображена на рисунке. Тогда, согласно сделанным выше выводам,

xC =Σ(lixCi)/Σli.

Дугу li вследствие малости примем за отрезок прямой. Из подобия треугольника ODiCi и элементарного треугольника S (на рисунке заштрихован) получим:

Li/Δyi = R/xCi     или     lixi = RΔyi.

Тогда:

xC =Σ(lixCi)/Σli = Σ(RΔyi)/l = RΣΔyi/l = R×AB/l,

поскольку RΣΔyi = AB, а Σli = l – длина дуги АВ. Но АВ = 2R sinα, а l = 2Rα, следовательно,

xC = (R sinα)/α.

При α = π/2 рад (полуокружность), xC = 2R/π.

Круговой сектор. Возьмем сектор радиусом R с центральным углом 2α (см. рисунок 3а). Проведем оси координат, как показано на рисунке (ось x направлена вдоль оси симметрии сектора), тогда yC = 0.

Определим xC, для чего разобьем сектор на ряд элементарных секторов, каждый из которых из-за малости дуги li можно принять за равнобедренный треугольник с высотой R. Тогда центр тяжести каждого элементарного сектора будет находиться на дуге радиуса 2R/3 и задача определения центра тяжести сектора сводится к определению центра тяжести этой дуги.
Очевидно, что

xC = 2 R sinα/(3α).

При α = π/2 рад (полукруг): xC = 4R/(3π).

***

Пример решения задачи на определение центра тяжести

Задача:
Определить положение центра тяжести сечения, составленного из двутавра № 22 и швеллера № 20, как показано на рисунке 4.

Решение.
Из курса инженерной графики известно, что номер проката соответствует наибольшему габаритному размеру его сечения, выраженного в сантиметрах.

Так как сечение, составленное из двутавра и швеллера, представляет собой фигуру, симметричную относительно оси y, то центр тяжести такого сечения лежит на этой оси, т. е. xC = 0.
По справочнику определим площади и координаты центров тяжести двутавра 1 и швеллера 2.

Для двутаврового сечения:  А1 = 15,2 см2;     y1 = 22/2 = 11 см.
Для швеллерного сечения:  А2 = 12 см2;     y2 = 22 + d – z0 = 22 + 0,32 – 1,25 = 21,07 см,
где d – толщина стенки швеллера; z0 – размер, определяющий положение центра тяжести швеллера.

Применим формулу для определения координаты центра тяжести всего сечения:

yC = Σ(Aiyi)/ΣAi,

тогда:

yC = (A1y1 +A2y2)/(A1 +A2) = (15,2×11 + 12×21,07)/(15,2 + 12) = 15,4 см.

Задача решена.

***

Кинематика точки



Олимпиады и тесты

Источник: http://k-a-t.ru/tex_mex/11-statika_center_tj2/

Центр тяжести

Особенностью центра тяжести является то, что эта сила, действует на тело не в какой – то одной точке, а распределена по всему объему тела.

Силы тяжести, которые действуют на отдельные элементы тела (которые можно считать материальными точками), направлены к центру Земли и не являются строго параллельными.

Но так как размеры большинства тел на Земле много меньше ее радиуса, поэтому эти силы считают параллельными.

Определение центра тяжести

Определение

Точку, через которую проходит равнодействующая всех параллельных сил тяжести, оказывающих воздействиена элементы тела при любом расположении тела в пространстве, называют центром тяжести.

Иначе говоря: центр тяжести – это точка, к которой приложена сила тяжести при любом положении тела в пространстве. Если известно положение центра тяжести, то можно считать, что сила тяжести – это одна сила, и она приложена в центре тяжести.

Задача нахождение центра тяжести является значимой задачей в технике, поскольку от положения центра тяжести зависит устойчивость всех конструкций.

Метод нахождения центра тяжести тела

Определяя положение центра тяжести тела сложной формы можно сначала мысленно разбить тело на части простой формы и найти центы тяжести для них. Для тел простой формы можно сразу определить центр тяжести из соображений симметрии.

Сила тяжести однородных диска и шара находится в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т,д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии.

Центр тяжести может находиться вне тела, например кольцо.

Выясним расположение центров тяжести частей тела, находят место расположения центра тяжести тела в целом. Для этого тело представляют в виде совокупности материальных точек. Каждая такая точка находится в центре тяжести своей части тела и обладает массой этой части.

Координаты центра тяжести

В трехмерном пространстве координаты точки приложения равнодействующей всех параллельных сил тяжести (координаты центра тяжести), для твердого тела вычисляются как:

\[\left\{ \begin{array}{c}x_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_ix_i}}{m};; \\y_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iy_i}}{m};; \\z_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iz_i}}{m} \end{array}\right.\left(1\right),\]

где $m$ – масса тела.$;;x_i$ – координата на оси X элементарной массы $\Delta m_i$; $y_i$ – координата на оси Y элементарной массы $\Delta m_i$; ; $z_i$ – координата на оси Z элементарной массы $\Delta m_i$.

В векторной записи система из трех уравнений (1) записывается как:

\[{\overline{r}}_c=\frac{1}{m}\sum\limits_i{m_i{\overline{r}}_i\left(2\right),}\]

${\overline{r}}_c$ – радиус – вектор, определяющий положение центра тяжести; ${\overline{r}}_i$ – радиус-векторы, которые определяют положения элементарных масс.

Центр тяжести, центр масс и центр инерции тела

Формула (2) совпадает с выражениями, определяющими центр масс тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Сила инерции в неинерциальных системах отсчета, перемещающейся поступательно приложена к центру тяжести тела.

Но следует учитывать, что центробежная сила инерции (в общем случае) не приложена к центру тяжести, поскольку в неинерциальной системе отсчета на элементы тела действуют разные центробежные силы инерции (даже если массы элементов равны), так как расстояния до оси вращения разные.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Система составлена из четырех маленьких шариков (рис.1) каковы координаты ее центра тяжести?

Решение. Рассмотрим рис.1. Центр тяжести будет иметь в этом случае одну координату $x_c$, которую определим как:

\[x_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_ix_i}}{m}\ \left(1.1\right).\]

Масса тела в нашем случае равна:

\[m=m+2m+3m+4m=10\ m.\]

Числитель дроби в правой части выражения (1.1) в случае (1(а)) принимает вид:

\[\sum\limits_{i=4}{\Delta m_ix_i=m\cdot 0+2m\cdot a+3m\cdot 2a+4m\cdot 3a=20m\cdot a}.\]

Получаем:

\[x_c=\frac{20m\cdot a}{10m}=2a.\]

Ответ. $x_c=2a;$

    Пример 2

Задание. Система составлена из четырех маленьких шариков (рис.2) каковы координаты ее центра тяжести?

Решение. Рассмотрим рис.2. Центр тяжести системы находится на плоскости, следовательно, он имеет две координаты ($x_c,y_c$). Найдем их по формулам:

\[\left\{ \begin{array}{c}x_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_ix_i}}{m};; \\y_с=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iy_i}}{m}. \end{array}\right.\]

Масса системы:

\[m=m+2m+3m+4m=10\ m.\]

Найдем координату $x_c$:

\[x_c=\frac{0\cdot 4m+3m\cdot a+2m\cdot a}{10m}=0,5\ a.\]

Координата $y_с$:

\[y_с=\frac{0\cdot m+m\cdot a+2m\cdot a}{10m}=0,3\ a.\]

Ответ. $x_c=0,5\ a$; $y_с=0,3\ a$

Читать дальше: центростремительное ускорение при движении по окружности.

Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_68_centr_tjazhesti.php

Положения центра тяжести некоторых фигур

Прямоугольник.Таккак прямоугольник имеет две оси симметрии, то его центр тяжести находится напересечении осей симметрии, т.е. в точкепересечения диагоналей прямоугольника.

Треугольник.Центртяжести лежит в точке пересечения егомедиан. Из геометрии известно, чтомедианы треугольника пересекаются водной точке и делятся в отношении 1:2 отоснования.

Круг.Таккак круг имеет две оси симметрии, то егоцентр тяжести находится на пересеченииосей симметрии.

Полукруг.Полукругимеет одну ось симметрии, то центртяжести лежит на этой оси. Другаякоордината центра тяжести вычисляетсяпо формуле: .

Многиеконструктивные элементы изготавливаютиз стандартного проката – уголков,двутавров, швеллеров и других. Всеразмеры, а так же геометрическиехарактеристики прокатных профилей этотабличные данные, которые можно найтив справочной литературе в таблицахнормального сортамента (ГОСТ 8239-89, ГОСТ8240-89).

Пример1. Определитьположение центра тяжести фигуры,представленной на рисунке.

Решение:

1. Выбираем оси координат, так чтобы ось Ох прошла по крайнему нижнему габаритному размеру, а ось Оу – по крайнему левому габаритному размеру.

2. Разбиваем сложную фигуру на минимальное количество простых фигур:

1. прямоугольник 20х10;

2. треугольник 15х10;

3. круг R=3 см.

1. Вычисляем площадь каждой простой фигуры, её координаты центра тяжести. Результаты вычислений заносим в таблицу

1. Вычисляем координаты центра тяжести фигуры по формулам:

Ответ:С(14,5; 4,5)

Пример2.Определить координаты центра тяжестисоставного сечения, состоящего из листаи прокатных профилей.

Решение.

1. Выбираем оси координат, так как показано на рисунке.

2. Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблицы необходимые данные:

1. – швеллер №10; высота h=100 мм; ширина b=46 мм; площадь сечения ;

2. – двутавр №16; высота h=160 мм; ширина b=81 мм; площадь сечения ;

3. – лист 5х100; толщина 5 мм; ширина 100 мм.

1. Вычисляем координаты центра тяжести каждой фигуры. Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести находится на оси симметрии и координата . Результаты вычислений заносим в таблицу

1. Вычисляем координаты центра тяжести фигуры по формулам:

Ответ:С(0; 10)

Лабораторная работа №1 «Определение центра тяжести составных плоских фигур»

Цель:Определить центр тяжести заданнойплоской сложной фигуры опытным ианалитическим способами и сравнить ихрезультаты.

Порядок выполнения работы

1. Начертить в тетрадях свою плоскую фигуру по размерам, с указанием осей координат.

2. Определить центр тяжести аналитическим способом.

   1. Разбить фигуру на минимальное количество фигур, центры тяжести которых, мы знаем, как определить.

   2. Указать номера площадей и координаты центра тяжести каждой фигуры.

   3. Вычислить координаты центра тяжести каждой фигуры.

   4. Вычислить площадь каждой фигуры.

   5. Вычислить координаты центра тяжести всей фигуры по формулам (положение центра тяжести нанести на чертеж фигуры):

;

1. Записать координаты центра тяжести.

1. Определить центр тяжести опытным путем на установке для определения координат центра тяжести.

   1. Вырезать данную фигуру из тонкого картона.

   2. Определить центр тяжести своей фигуры на установке.

Установкадля опытного определения координатцентра тяжести способом подвешиваниясостоит из вертикальной стойки 1(см. рис.), к которой прикреплена игла 2.Плоская фигура 3изготовлена из картона, в котором легкопроколоть отверстие.

Отверстия Аи Впрокалываются в произвольно расположенныхточках (лучше на наиболее удаленномрасстоянии друг от друга). Плоская фигураподвешивается на иглу сначала в точкеА,а потом в точке В.

При помощи отвеса 4,закрепленного на той же игле, на фигурепрочерчивают карандашом вертикальнуюлинию, соответствующую нити отвеса.

Центр тяжести Сфигуры будет находиться в точкепересечения вертикальных линий,нанесенных при подвешивании фигуры вточках Аи В.

1. Приклеить фигуру с определенным центром тяжести в тетрадь.

2. Записать значения координат центра тяжести, найденных при подвешивании фигур:

1. Сравнить результаты: ;

2. Сделать вывод:

Заданиедля лабораторной работы.Номер схемы соответствует Вашемупорядковому номеру в журнале.

Источник: https://studfile.net/preview/3829118/page:2/

Расчет координат центра тяжести фигуры

Для создания поделок, головоломок да и просто в домашних делах, иногда возникает ситуация когда необходимо рассчитать центр тяжести какой либо фигуры. И если для простейших фигур, формулы расчета центра тяжести  известны, например  для круга  центр тяжести совпадает с центром окружности, то более сложные фигуры, а тем более фигуры состоящие из ломаных линий, вручную посчитать очень сложно.

Что же такое центр тяжести? Это такая точка на фигуре, поднимая за которую, фигура остается в таком же положении как она лежала например на столе.

Это дилетанское конечно же объяснение, кроме этого мы говорим о плоских фигурах.

 Более правильное такое: Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. 

Что же Вам, как пользователю необходимо знать? Необходимы координаты точек вершин такого многоугольника.

Как определить центр тяжести?

Если на точки  М1(x1,y1,z1)  и   М2(x2,y2,z2) действуют паралельные силы то точка М приложения  равнодействующей этих сил делит отрезок М1М2 обратно пропорционально этим силам

Поэтому координаты точки М будут 

если речь идет о воздействии трех действующих сил то формулы аналогичные и высчитываются как арифметическое средневзвешенное

таким же способом рассчитываются если в точках приложения сил не три, а четыре или пять или десять например.

Если принять что силой действующий на точки будет сила тяжести, а масса точек будет одинакова, то после сокращений одинаковых значений, наша формула для трех точек будет следующей

Здесь положение центра тяжести зависит только от положения точек. Точка () называется геометрическим центром тяжести этих точек

Если фигура симметрична – то центр тяжести совпадает с геометрическим центром фигуры.  Это касается таких например фигур как квадрат,  круг, правильный многоугольник, равносторонний треугольник и другие подобные объекты.

И еще, немного теории, которая поможет рассчитать центр тяжести сложных фигур.

Положение центра тяжести чистемы точечных масс не изменится, если любую частичную группу точечных масс системы заменить одной точечной массой, расположенной в центре тяжести этой группы и имеющей в качестве  массы сумму масс точек этой группы.

РАСЧЕТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ  ТРЕУГОЛЬНИКА ПО КООРДИНАТАМ

Рассчитаем центр тяжести треугольной пластины, произвольной формы, одинаковой толщины.

Из какого материала мы будем делать, из стали, бумаги или платика не столь важно.

Центр тяжести трегольника является одной из семи замечательных точек, и  определяется как точка пересечения медиан сторон этого треугольника.

Если же нам известны только координаты  треугольника, например, мы его вырезали из тетрадки в клеточку, то координаты точки тяжести, будут определяться так

Не пытайтесь аппроксимировать эту формулу и подумать что центр трапеции будет вычисляться аналогично например по таким формулам

Это неверно,  вернее неверно в случае когда масса распределена в плоскости между этими точками ( например пластины). 

Как же тогда рассчитывать центр тяжести трапеции?

Умные люди нашли формулу  расчета точки, но в ней исходные данные представлены в виде длин сторон трапеции.

Вот эта формула.

Она не удобна, когда нам известны только координаты трапеции. Но мы воспользуемся способом разбиения трапеции два треугольника, где для каждого из них  находим центр тяжести, а потом рассчитывая уже для двух точек(центров), находим окончательное решение.

Для каждого треугольника  центр будет рассчитыватся  по известной формуле

Но вот, когда мы будем рассчитывать окончательную точку, надо учитывать что мы, “стягивая” в центр тяжести каждый треугольник, стягиваем и всю массу поверхности которая лежала между этими координатами. 

Так как между площадью фигуры ( при одинаковой толщине)  и массой  связь линейная, то легко предположить что окончательный  расчет будет не таким

а  с учетом линейности между массой и площадью( а значит можно не высчитывать массу каждой новой точки, а учитывать лишь площадь каждого из двух треугольников)  формула  для трапеции будет такой

Причем эта формула будет работоспособна при любом произвольном многоугольнике,  единственное условие  что бы площади каждого из треугольника  не пересекались друг с другом.

Итак, у нас есть фигура с координатами 0:0 5:5 10:5 15:0

Несложно представить эту фигуру и определить что это равностороняя трапеция.

Источник: https://abakbot.ru/online-2/366-gravite