Примеры непрерывных функций. Как исследовать функцию на непрерывность

Точки разрыва функции – определения, классификация и примеры

Примеры непрерывных функций. Как исследовать функцию на непрерывность

Определения точек разрыва первого и второго рода. Основные факты, используемые при исследовании функций на непрерывность. Примеры решения задач, в которых требуется найти точки разрыва и определить вид разрыва.

Определение точки разрыва функции
Конечная точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если функция определена на некоторой проколотой окрестности точки x0, но не является непрерывной в этой точке.

То есть, в точке разрыва, функция либо не определена, либо определена, но хотя бы один односторонний предел в этой точке или не существует, или не равен значению f(x0) функции в точке x0. См. «Определение непрерывности функции в точке».

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Исследование функций на непрерывность

При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.

  • Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. К ним относятся следующие функции: , а также постоянная и обратные к ним функции. См. «Справочник по элементарным функциям».
  • Сумма, разность и произведение непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве.Частное двух непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. См. «Арифметические свойства непрерывных функций»
  • Сложная функция непрерывна в точке , если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . См. «Предел и непрерывность сложной функции»

Пример 1

Задана функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
.

Решение

Заданная функция является сложной. Ее можно рассматривать как композицию двух функций:
,   . Тогда
.

Рассмотрим функцию . Она составлена из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и деления. Функция является элементарной – степенной функцией с показателем степени 1. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .

Поэтому функция определена и непрерывна для всех , кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение:
.
Получаем единственный корень .

Итак, функция определена и непрерывна для всех , кроме точки .

Рассмотрим функцию . Это показательная функция с положительным основанием степени. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому заданная функция определена и непрерывна для всех значений переменной , кроме точки .

Таким образом, в точке , заданная функция является непрерывной.

График функции y = 41/(x+2).

Рассмотрим точку . В этой точке функция не определена. Поэтому она не является непрерывной. Установим род разрыва. Для этого находим односторонние пределы.

Используя связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями, для предела слева имеем:
при ,
,
,
.

Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.

Аналогично, для предела справа имеем:
при ,
,
,
.

Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.

Ответ

В точке   функция непрерывна.
В точке   разрыв второго рода,
.

Пример 2

Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
.

Решение

График заданной функции.

Функция является степенной функцией с целым показателем степени, равным 1. Такую функцию также называют линейной. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .

В   входят еще две функции: и . Они составлены из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и умножения:
,  .
Поэтому они также непрерывны для всех .

Поскольку функции, входящие в состав непрерывны для всех , то может иметь точки разрыва только в точках склейки ее составляющих. Это точки и . Исследуем на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы.

Рассмотрим точку . Чтобы найти левый предел функции в этой точке, мы должны использовать значения этой функции в любой левой проколотой окрестности точки . Возьмем окрестность . На ней .

Тогда предел слева:
.
Здесь мы использовали тот факт, что функция является непрерывной в точке (как и в любой другой точке).

Поэтому ее левый (как и правый) предел равен значению функции в этой точке.

Найдем правый предел в точке . Для этого мы должны использовать значения функции в любой правой проколотой окрестности этой точки. Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел справа:
.
Здесь мы также воспользовались непрерывностью функции .

Поскольку, в точке , предел слева не равен пределу справа, то в ней функция не является непрерывной – это точка разрыва. Поскольку односторонние пределы конечны, то это точка разрыва первого рода. Скачек функции:
.

Теперь рассмотрим точку . Тем же способом вычисляем односторонние пределы:
;
.
Поскольку функция определена в точке и левый предел равен правому, то функция непрерывна в этой точке.

Ответ

Функция имеет разрыв первого рода в точке . Скачек функции в ней: . В остальных точках функция непрерывна.

Пример 3

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.

Решение

Воспользуемся тем, что линейная функция определена и непрерывна для всех . Заданная функция составлена из линейной функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления:
.
Поэтому она определена и непрерывна для всех , за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Найдем эти точки. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем квадратное уравнение:
;
;
;   . Тогда

.

Используем формулу:
. С ее помощью, разложим числитель на множители:

.

Тогда заданная функция примет вид:
(П1)   .
Она определена и непрерывна для всех , кроме точек и . Поэтому точки и являются точками разрыва функции.

Разделим числитель и знаменатель дроби в (П1) на :
(П2)   .
Такую операцию мы можем проделать, если . Таким образом,
  при  .
То есть функции и отличаются только в одной точке: определена при , а в этой точке не определена.

Чтобы определить род точек разрыва, нам нужно найти односторонние пределы функции в точках и .

Для их вычисления мы воспользуемся тем, что если значения функции изменить, или сделать неопределенными в конечном числе точек, то это не окажет ни какого влияние на величину или существование предела в произвольной точке (см.

«Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела»). То есть пределы функции в любых точках равны пределам функции .

Рассмотрим точку . Знаменатель дроби в функции , при в нуль не обращается. Поэтому она определена и непрерывна при . Отсюда следует, что существует предел при и он равен значению функции в этой точке:
.
Поэтому точка является точкой устранимого разрыва первого рода.

Рассмотрим точку . Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций, имеем:
;
.
Поскольку пределы бесконечные, то в этой точке разрыв второго рода.

Ответ

Функция имеет точку устранимого разрыва первого рода при , и точку разрыва второго рода при .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Олег Одинцов.     : 22-09-2018

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/nepreryvnost-funktsii/tochki-razryva/

Непрерывность функции в точке и на промежутке. С примерами

Примеры непрерывных функций. Как исследовать функцию на непрерывность

На этом уроке будем учиться устанавливать непрерывность функции. Будем делать это с помощью пределов, причем односторонних – правого и левого, которые совсем не страшны, несмотря на то что записываются как и .

Но что такое вообще непрерывность функции? Пока мы не дошли до строгого определения, проще всего представить себе линию, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Если такая линия начерчена, то она непрерывна. Эта линия и является графиком непрерывной функции.

Графически функция непрерывна в точке , если её график не “разрывается” в этой точке. График такой непрерывной функции – показан на рисунке ниже.

Определение непрерывности функции через предел. Функция является непрерывной в точке при соблюдении трёх условий:

1. Функция определена в точке .

2. Существует предел функции в точке , при этом правый и левый пределы равны: . Правый и левый пределы вычисляются как предел вообще: в выражение функции вместо икса подставляется то, к чему стремится икс, причём вместе с плюс нулём при правом пределе и с минус нулём при левом пределе.

3. Предел функции в точке равен значению функции в этой точке:

А могут ли правый и левый пределы хоть когда-нибудь быть не равны, если к значению, к которому стремится икс, прибавляется или вычитается всего лишь нуль? Могут. Когда и почему – это объяснено на уроке о точках разрыва функции и их видах.

Если хотя бы одно из перечисленных условий не соблюдено, функция не является непрерывной в точке. При этом говорят, что функция терпит разрыв, а точки на графике, в которых график прерывается, называются точками разрыва функции. График такой функции , терпящей разрыв в точке x=2 – на рисунке ниже.

Пример 1. Функция f(x) определена следующим образом:

Будет ли эта функция непрерывной в каждой из граничных точек её ветвей, то есть в точках x = 0, x = 1, x = 3?

Решение. Проверяем все три условия непрерывности функции в каждой граничной точке. Первое условие соблюдается, так как то, что функция определена в каждой из граничных точек, следует из определения функции. Осталось проверить остальные два условия.

Точка x = 0. Найдём левосторонний предел в этой точке:

.

Найдём правосторонний предел:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 0 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Как видим, предел функции и значение функции в точке x = 0 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 0.

Точка x = 1. Найдём левосторонний предел в этой точке:

.

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 1 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 1 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 1.

Точка x = 3. Найдём левосторонний предел в этой точке:

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 3 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 3 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 3.

Основной вывод: данная функция является непрерывной в каждой граничной точке.

Непрерывное изменение функции можно определить как изменение постепенное, без скачков, при котором малое изменение аргумента влечёт малое изменение функции .

Проиллюстрируем это непрерывное изменение функции на примере.

Пусть над столом висит на нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние l груза от точки подвеса нити является функцией массы груза m, то есть l = f(m), m≥0.

Если немного изменить массу груза, то расстояние l изменится мало: малым изменениям m соответствуют малые изменения l.

Однако если масса груза близка к пределу прочности нити, то небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв нити: расстояние l скачкообразно увеличится и станет равным расстоянию от точки подвеса до поверхности стола. График функции l = f(m) изображён на рисунке.

На участке этот график является непрерывной (сплошной) линией, а в точке он прерывается. В результате получается график, состоящий из двух ветвей. Во всех точках, кроме , функция l = f(m) непрерывна, а в точке она имеет разрыв.

Непрерывность функции на промежутке

Пусть функция y = f(x) определена в интервале ]a, b[ и непрерывна в каждой точке этого интервала. Тогда она называется непрерывной в интервале ]a, b[. Аналогично определяется понятие непрерывности функции на промежутках вида ]- ∞, b[, ]a, + ∞[, ]- ∞, + ∞[.

Пусть теперь функция y = f(x) определена на отрезке [a, b]. Разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок.

Здесь следует упомянуть о так называемой односторонней непрерывности: в точке a, оставаясь на отрезке [a, b], мы можем приближаться только справа, а к точке b – только слева.

Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции и непрерывны на любом отрезке [a, b], функция непрерывна на отрезке [0, b], функция непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку a = 2.

Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Проверяем первое условие. Функция не определена в точках – 3 и 3. По меньшей мере одно из условий непрерывности функции на всей числовой прямой не выполняется. Поэтому данная функция является непрерывной на интервалах

.

Пример 5. Определить, при каком значении параметра a непрерывна на всей области определения функция

Решение.
Найдём левосторонний предел функции в точке :

.

Найдём правосторонний предел при :

.

Очевидно, что значение в точке x = 2 должно быть равно ax:

Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1,5.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение Пройти тест по теме Предел

Пример 6. Определить, при каких значениях параметров a и b непрерывна на всей области определения функция

Решение.
Найдём левосторонний предел функции в точке :

.

Следовательно, значение в точке должно быть равно 1:

.

Найдём левосторонний функции в точке :

.

Очевидно, что значение функции в точке должно быть равно :

Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1; b = -3.

Основные свойства непрерывных функций

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время бесконечны, и зависимость, например, пути s от времени t, выраженная законом s = f(t), даёт пример непрерывной функции f(t). Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени: T = f(t).

В математическом анализе доказаны некоторые свойства, которыми обладают непрерывные функции. Приведём важнейшие из этих свойств.

1. Если непрерывная на интервале функция принимает на концах интервала значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как первая теорема Больцано-Коши.

2. Функция f(x), непрерывная на интервале [a, b], принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, то есть, между f(a) и f(b). В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как вторая теорема Больцано-Коши.

3. Если функция непрерывна на интервале, то на этом интервале она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения: если m – наименьшее, а M – наибольшее значение функции на интервале [a, b], то найдутся на этом отрезке такие точки и , что и . Теорема, в которой изложено это свойство, называется второй теоремой Вейерштрасса.

Пример 7. Используя первое из приведённых выше свойств непрерывных функций, доказать, что уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в интервале [1; 2].

Решение.

Пусть .

Вычислим значения функции при x = 1 и x = 2.

.

.

Получили, что функция на концах интервала принимает значения разных знаков:
и , т. е.

Следовательно, в интервале [1; 2] существует такое число a, при котором f(a) = 0. То есть, уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в данном интервале.

Установление непрерывности функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика.

Пример 8. Есть ли у уравнения хотя бы один вещественный корень?

Решение.
Функция определена на интервале .

Вычислим значения функции при x = 0 и .

.

.

Получили
и .

Следовательно, существует такое число a, при котором f(a) = 0. Ответ на вопрос задачи: уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Предел

Весь раздел “Исследование функций”

Источник: https://function-x.ru/function_continuity.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.