Правило треугольника определение. Как найти определитель матрицы правило треугольника

Определители (детерминанты) матриц и их свойства

Правило треугольника определение. Как найти определитель матрицы правило треугольника

Пусть — квадратная матрица порядка . Определитель (детерминант) квадратной матрицы — это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим правилам.

1. Определителем матрицы порядка называется единственный элемент этой матрицы: .

2. Определителем матрицы порядка называется число

(2.1)

где — определитель квадратной матрицы порядка , полученной из вычеркиванием первой строки и j-го столбца.

Определитель матрицы обозначают, заключая матрицу в “прямые” скобки:

Имея в виду это обозначение, для краткости говорят о порядке определителя, строках или столбцах определителя, элементах определителя, опуская при этом слово “матрица”. Например, первая строка определителя n-го порядка — это первая строка квадратной матрицы n-го порядка.

Индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. По второму правилу (т.е. по формуле (2.1)) нахождение определителя n-го порядка сводится к вычислению и определителей (n-1)-го порядка.

Нахождение каждого определителя (n-1)-го порядка сводится к вычислению определителя (n-2)-го порядка и т.д., пока не получим определителей n-го порядка, которые находим по первому правилу.

Конечно, такая процедура неудобна из-за своей громоздкости, но вполне реализуема и может быть принята в качестве определения.

Квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной {особой), в противном случае — невырожденной (неособой).

Получим формулы вычисления определителей второго и третьего порядков. По определению при

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем матрицу, содержащую один элемент, поэтому

Подставляя эти значения в правую часть, получаем формулу вычисления определителя второго порядка

(2.2)

Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (см. схему на рис. 2.1).

Для определителя третьего порядка имеем

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем определители квадратных матриц второго порядка:

Эти определители второго порядка записываем по формуле (2.2) и получаем формулу вычисления определителя третьего порядка

(2.3)

Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых есть произведение трех элементов определителя, стоящих в разных строках и разных столбцах. Причем три слагаемых берутся со знаком плюс, а три других — со знаком минус.

Для запоминания формулы (2.

3) используется правило треугольников: надо сложить три произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис. 2.

2,а), и вычесть три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2,6).

Можно также пользоваться схемой вычисления, изображенной на рис. 2.

3 (правило Саррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическую сумму этих произведений, при этом произведение элементов на прямых, параллельных главной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведение элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, — со знаком минус (согласно обозначениям на рис. 2.3).

Итак, получены формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Можно продолжить вычисления по формуле (2.1) для и получить формулы для вычисления определителей четвертого, пятого и т.д. порядков.

Следовательно, индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. Другое дело, что формулы будут громоздкими и неудобными при практических вычислениях.

Поэтому определители высокого порядка (четвертого и более), как правило, вычисляют на основании свойств определителей.

Пример 2.1. Вычислить определители

Решение. По формулам (2.2) и (2.3) находим ;

Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)

Пусть дана квадратная матрица порядка .

Дополнительным минором элемента называется определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется дополнительный минор этого элемента, умноженный на

Теорема 2.1 формула разложения определителя по элементам строки (столбца). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по i-й строке);

(разложение по j-му столбцу).

Замечания 2.1.

1. Доказательство формулы проводится методом математической индукции.

2. При индуктивном определении (2.1) фактически использована формула разложения определителя по элементам первой строки.

Пример 2.2. Найти определитель матрицы

Решение. Разложим определитель по 3-й строке:

Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу:

Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):

Определитель матрицы треугольного вида

Применим формулу разложения для нахождения определителя верхней треугольной матрицы

Разложим определитель по последней строке (по n-й строке):

где — дополнительный минор элемента . Обозначим . Тогда . Заметим, что при вычеркивании последней строки и последнего столбца определителя , получаем определитель верхней треугольной матрицы такого же вида, как , но (n-1)-го порядка. Раскладывая определитель , по последней строке ((n-1)-й строке), получаем . Продолжая аналогичным образом и учитывая, что , приходим к формуле

т.е. определитель верхней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Замечания 2.2

1. Определитель нижней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

2. Определитель единичной матрицы равен 1.

3. Определитель матрицы треугольного вида будем называть определителем треугольного вида. Как показано выше, определитель треугольного вида (определитель верхней или нижней треугольной матрицы, в частности, диагональной) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Основные свойства определителей (детерминантов)

1. Для любой квадратной матрицы , т.е. при транспонировании определитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя “равноправны”: любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.

2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равны нулю), то определитель равен нулю: .

3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на про тивоположный (свойство антисимметричности):

4. Если в определителе имеется два одинаковых столбца, то он равен нулю:

при

5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю:

при
6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на число определитель умножается на это число:

7. Если j-й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцов , то определитель равен сумме двух определителей, у которых j-ми столбцами являются и соответственно, а остальные столбцы одинаковы:

8. Определитель линеен по любому столбцу:

9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и тоже число:

10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:

при .

Замечания 2.3

1. Первое свойство определителя доказывается по индукции. Доказательства остальных свойств проводятся с использованием формулы разложения определителя по элементам столбца. Например, для доказательства второго свойства достаточно разложить определитель по элементам нулевого столбца (предположим, что j-й столбец нулевой, т.е. ):

Для доказательства свойства 10 нужно прочитать формулу разложения определителя справа налево, а именно, сумму произведений элементов i-го столбца на алгебраические дополнения элементов j-го столбца представить как разложение по j-му столбцу определителя

у которого на месте элементов j-ro столбца стоят соответствующие элементы i-го столбца. Согласно четвертому свойству такой определитель равен нулю.

2. Из первого свойства следует, что все свойства 2-10, сформулированные для столбцов определителя, будут справедливы и для его строк.

3. По формулам разложения определителя по элементам строки (столбца) и свойству 10 заключаем, что

(2.4)

4. Пусть — квадратная матрица. Квадратная матрица того же порядка, что и , называется присоединенной по отношению к , если каждый ее элемент равен алгебраическому дополнению элемента матрицы . Иными словами, для нахождения присоединенной матрицы следует:

а) заменить каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением , при этом получим матрицу ;

б) найти присоединенную матрицу , транспонируя матрицу .

Из формул (2.4) следует, что , где — единичная матрица того же порядка, что и .

Пример 2.3. Дана матрица . Сравнить определитель матрицы с определителями матриц

Решение. Определитель матрицы был найден в примере 2.1: . По формуле (2.2) вычисляем определители остальных матриц:

что соответствует свойству 1;

что соответствует свойству 3, так как матрица получена из матрицы перестановкой 1-го и 2-го столбцов;

что соответствует свойству 3, так как матрица получена из матрицы перестановкой 1-й и 2-й строк;

что соответствует свойству 6, так как матрица получена из матрицы умножением элементов 2-й строки на число ;

что соответствует свойству 9, так как матрица получена из матрицы прибавлением к элементам первой строки соответствующих элементов второй строки, умноженных на .

Пример 2.4. Дана матрица . Найти присоединенную матрицу и вычислить произведения и .

Решение. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы :

Составим присоединенную матрицу, транспонируя матрицу (см. п.4 замечаний 2.3), т.е.

Вычислим произведения

что соответствует п.4 замечаний 2.3, так как (см. пример 2.1).

Пример 2.5. Найти определитель блочно-диагональной матрицы , где — произвольная квадратная матрица, — единичная, а — нулевая матрица соответствующего порядка, — транспонированная.

Решение. Разложим определитель по последнему столбцу. Так как в этом столбце все элементы нулевые, за исключением последнего, равного 1, получим определитель такого же вида, что и исходный, но меньшего порядка. Раскладывая полученный определитель по последнему столбцу, уменьшаем его порядок. Продолжая таким же образом, получаем определитель матрицы . Следовательно,

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=opredeliteli-determinanty-i-ih-svoistva

Определители, их вычисление и свойства

Правило треугольника определение. Как найти определитель матрицы правило треугольника
Вычисление определителей n-го порядка:

Пользуясь этой статьёй об определителях, вы обязательно научитесь решать задачи вроде следующей:

Решить уравнение:

и многих других, которые так любят придумывать преподаватели.

Определитель матрицы или просто определитель играет важную роль в решении систем линейных уравнений. В общем-то определители и были придуманы для этой цели.

Поскольку часто говорят также “определитель матрицы”, упомянем здесь и матрицы. Матрица – это прямоугольная таблица, составленная из чисел, которые нельзя менять местами.

Квадратная матрица – таблица, у которой число строк и число столбцов одинаково. Определитель может быть только у квадратной матрицы.

Понять логику записи определителей легко по следующей схеме. Возьмём знакомую вам со школьной скамьи систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

В определителе последовательно записываются коэффициенты при неизвестных: в первой строке – из первого уравнения, во второй строке – из второго уравнения:

Например, если дана система уравнений

,

то из коэффициентов при неизвестных формируется следующий определитель:

Итак, пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в n строках (горизонтальных рядах) и в n столбцах (вертикальных рядах). С помощью этих чисел по некоторым правилам, которые мы изучим ниже, находят число, которое и называют определителем n-го порядка и обозначают следующим образом:

                    (1)

Числа называют элементами определителя (1) (первый индекс означает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, …, n;  j = 1, 2, …, n). Порядок определителя – это число его строк и столбцов.

Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы, т.е. элементы

называется главной диагональю, другая диагональ – побочной.

По теме “Определители” на сайте есть также отдельный урок по вычислению минора и алгебраического дополнения.

Покажем, как вычисляются определители первых трёх порядков.

Определитель первого порядка – это сам элемент т.е.

.

Определитель второго порядка есть число, получаемое следующим образом:

,   (2)

где и

– произведение элементов, стоящих соответственно на главной и на побочной диагоналях.

Равенство (2) показывает, что со своим знаком берётся произведение элементов главной диагонали, а с противоположным – произведение элементов побочной диагонали.

Пример 1. Вычислить определители второго порядка:

Решение. По формуле (2) находим:

Определитель третьего порядка – это число, получаемое так:

 (3)

Запомнить эту формулу трудно. Однако существует простое правило, называемое правилом треугольников, которое позволяет легко воспроизвести выражение (3). Обозначая элементы определителя точками, соединим отрезками прямой те из них, которые дают произведения элементов определителя (рис. 1).

Формула (3) показывает, что со своими знаками берутся произведения элементов главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых ей параллельны; с противоположными – произведения элементов побочной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, которые ей параллельны.

На рис.1 главная диагональ и соответствующие ей основания треугольников и побочная диагональ и соответствующие ей основания треугольников выделены красным цветом.

При вычислении определителей очень важно, как и в средней школе, помнить, что число со знаком минус, умноженное на число со знаком минус, в результате даёт число со знаком плюс, а число со знаком плюс, умноженное на число со знаком минус, в результате даёт число со знаком минус.

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Решение. Пользуясь правилом треугольников, получим

Проверить решение можно с помощью калькулятора определителей онлайн.

Пройти тест по теме Определители

Вычисление определителей n-го порядка

Разложение определителя по строке или столбцу

Для вычисления определителя n-го порядка необходимо знать и использовать следующую теорему.

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е.

Определение. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно p строк и p столбцов (p < n), то элементы, находящиеся на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу порядка .

Определитель этой матрицы называется минором исходного определителя. Например, рассмотрим определитель :

Из строк и столбцов с чётными номерами построим матрицу:

Определитель

называется минором определителя . Получили минор второго порядка. Ясно, что из   можно построить различные миноры первого, второго и третьего порядка.

Если взять элемент и вычеркнуть в определителе строку и столбец, на пересечении которых он стоит, то получим минор, называемый минором элемента , который обозначим через :

.

Если минор умножить на  , где 3 + 2 – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент то полученное произведение называется алгебраическим дополнением элемента и обозначается ,

т.е.

Вообще, минор элемента будем обозначать , а алгебраическое дополнение  ,

причём

                  (4)

Для примера вычислим алгебраические дополнения элементов и определителя третьего порядка :

По формуле (4) получим

При разложении определителя часто используется следующее свойство определителя n-го порядка:

если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить произведение соответствующих элементов другой строки или столбца на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

Пример 3

здесь разложение проведено по элементам первой строки.

Пример 4.

Предварительно вычтем из первой и третьей строк элементы четвёртой строки, тогда будем иметь

В четвёртом столбце полученного определителя три элемента – нули. Поэтому выгоднее разложить этот определитель по элементам четвёртого столбца, так как три первых произведения будут нулями. Поэтому

Проверить решение можно с помощью калькулятора определителей онлайн.

А в следующем примере показано, как вычисление определителя любого (в данном случае – четвёртого) порядка можно свести к вычислению определителя второго порядка.

Пример 5. Вычислить определитель:

Вычтем из третьей строки элементы первой строки, а к элементам четвёртой строки прибавим элементы первой строки, тогда будем иметь

В первом столбце все элементы, кроме первого, – нули. То есть, определитель можно уже разложить по первому столбцу. Но нам очень не хочется вычислять определитель третьего порядка.

Поэтому произведём ещё преобразования: к элементам третьей строки прибавим элементы второй строки, умноженные на 2, а из элементов четвёртой строки вычтем элементы второй строки.

В результате определитель, являющийся алгебраическим дополнением, сам может быть разложен по первому столбцу и нам останется только вычислить определитель второго порядка и не запутаться в знаках:

Приведение определителя к треугольному виду

Определитель, где все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю, называется треугольным. Случай побочной диагонали путём изменения порядка строк или столбцов на обратный сводится к случаю главной диагонали. Такой определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Для приведения к треугольному виду используется то же самое свойство определителя n-го порядка, которое мы применяли в предыдущем параграфе: если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить произведение соответствующих элементов другой строки или столбца на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

Пример 6. Вычислить определитель:

Произведём следующие преобразования. Вычтем из второй, третьей и четвёртой строк элементы первой строки. Получим определитель треугольного вида:

Этот определитель равен произведению элементов главной диагонали:

Проверить решение можно с помощью калькулятора определителей онлайн.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Определители

Свойства определителя n-го порядка

В двух предыдущих параграфах мы уже использовали одно из свойств определителя n-го порядка. В некоторых случаях для упрощения вычисления определителя можно пользоваться другими важнейшими свойствами определителя.

Например, можно привести определитель к сумме двух определителей, из которых один или оба могут быть удобно разложены по какой-либо строке или столбцу.

Случаев такого упрощения предостаточно и решать вопрос об использовании того или иного свойства определителя следует индивидуально.

Свойство 1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится, т.е.

Свойство 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю. Доказательство очевидно.

В самом деле, тогда в каждом члене определителя один из множителей будет нуль.

Свойство 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный, т.е.

Свойство 4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю:

Свойство 5. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю:

Свойство 6. Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз:

Следствие. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя, например:

Свойство 7. Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей:

Свойство 8. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

Свойство 9. Если к элементам i-го ряда прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов нескольких параллельных рядов, то значение определителя не изменится.

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 8.

И на десерт – решение задачи, с которой начинается эта статья.

Пример 7. Решить уравнение:

Решение.

Шаг 1. Вычисляем определитель второго порядка, который находится в левой части уравнения. Элементы главной диагонали перемножаются, из этого произведения вычитается произведение элементов побочной диагонали:

Шаг 2. Вычисляем определитель третьего порядка, который образует правую часть уравнения. Делаем это по “правилу треугольников”:

Приравниваем обе части, получаем уравнение и решаем его:

В дальнейшем в курсе высшей математики с определителем выпадет встретится при изучении следующих тем: решение систем линейных уравнений методом Крамера, экстремум функции двух переменных, векторное и смешанное произведение векторов, линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, уравнения плоскости.

А для усвоения практического смысла составления матриц и определителей упомянём один из многочисленных примеров.

Если три магазина одной сети продают три различных вида товаров, то отчёт о продажах за год можно представить в виде таблицы из трёх строк и трёх столбцов, содержащей некоторые числа.

Первый индекс каждого числа – это номер магазина, а второй – номер вида товара. Впрочем, этот и другие примеры станут вам более понятны при решении систем линейных уравнений.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Определители

Продолжение темы “Определители”

Вычисление минора и алгебраического дополнения

Продолжение темы “Линейная алгебра”

Системы линейных уравнений

с друзьями

Источник: https://function-x.ru/determinants.html

Определитель матрицы

Правило треугольника определение. Как найти определитель матрицы правило треугольника
Определитель матрицы или детерминант матрицы – это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определение.

Определителем матрицы n×n будет число:

det(A) = Σ(-1)N(α1,α2,…,αn)·aα11·aα22·…·aαnn
(α1,α2,…,αn)

где (α1,α2,…,αn) – перестановка чисел от 1 до n, N(α1,α2,…,αn) – число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.

Обозначение

Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

  1. Определитель единичной матрицы равен единице:

    det(E) = 1

  2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

  3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

  4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

  5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.

  6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

    det(A) = det(AT)

  7. Определитель обратной матрицы:

    det(A-1) = det(A)-1

  8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

  9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

  10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

  11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

    a11a12…a1n a21a22…a2n …. k·ai1k·ai2…k·ain …. an1an2…ann = k· a11a12…a1n a21a22…a2n …. ai1ai2…ain …. an1an2…ann

  12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

    B = k·A   =>   det(B) = kn·det(A)

    где A матрица n×n, k – число.

  13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

    a11a12…a1n a21a22…a2n …. bi1 + ci1bi2 + ci2…bin + cin …. an1an2…ann = a11a12…a1n a21a22…a2n …. bi1bi2…bin …. an1an2…ann + a11a12…a1n a21a22…a2n …. ci1ci2…cin …. an1an2…ann

  14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

  15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

    det(A·B) = det(A)·det(B)

Правило:

Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = |a11| = a11

Правило:

Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

∆ =  = a11·a22 – a12·a21

Пример 1.

Найти определитель матрицы A

Решение:

det(A) =  = 5·1 – 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Правило:

Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

+

∆ = 
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
 =

=  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 – a13·a22·a31 – a11·a23·a32 – a12·a21·a33

Правило:

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком “плюс”; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком “минус”:

∆ = 
a11a12a13a11a12
a21a22a23a21a22
a31a32a33a31a32
 =

=  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 – a13·a22·a31 – a11·a23·a32 – a12·a21·a33

Пример 2.

Найти определитель матрицы A = 571 -410 203

Решение:

det(A) = 571 -410 203 = 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 – 1·1·2 – 5·0·0 – 7·(-4)·3 = 15 + 0 + 0 – 2 – 0 + 84 = 97

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

n
det(A) = Σaij·Aij – разложение по i-той строке
j = 1

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

n
det(A) = Σaij·Aij – разложение по j-тому столбцу
i = 1

При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3.

Найти определитель матрицы A

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

= 2·(-1)1+1· 21 11 + 0·(-1)2+1· 41 11 + 2·(-1)3+1· 41 21 =

= 2·(2·1 – 1·1) + 2·(4·1 – 2·1) = 2·(2 – 1) + 2·(4 – 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6

Пример 4.

Найти определитель матрицы A

A = 2411 0200 2113 4023

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

det(A) = 2411 0200 2113 4023 = – 0· 411 113 023 + 2· 211 213 423 – 0· 241 213 403 + 0· 241 211 402 =

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 – 1·1·4 – 2·3·2 – 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 – 4 – 12 – 6) = 2·0 = 0

Теорема Лапласа

Теорема:

Пусть ∆ – определитель n-ого порядка. Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k 

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/library/matrix/determinant/

Правило Саррюса (правило треугольника)

Правило треугольника определение. Как найти определитель матрицы правило треугольника

Пример1:

=–2×1×(–5)+ 5×4×(–4)+ 3×2×(–3)–(–3)×1× (–4)–4×2×

(–2)–5×3 × (–5)= 10 –80–18–12+16 +75 = –9.

Пример2:

=45 + 8 ‒ 24 ‒ 60 + 6 ‒ 24 = ‒ 49.

МиноромMijэлемента aijквадратнойматрицы n‒ го порядка называется определитель(n‒ 1) ‒ го порядка, полу­ченный из даннойматрицы вычеркиванием i‒ йстроки и j‒ гостол­бца, на пересечении которых стоитданный элемент.

Пример:

;

M11== 15 + 2 = 17;

M12== –6–6= –12;и т. д. всего 9 миноров.

Алгебраическимдополнением Aijэлементаaijквадратной матрицы называется егоминор,взятый со знаком (‒1)i+j.

Пример:

А11 =(–1)1+1×M11=17.

А12 =(–1)1+2×M12 = ‒ 1×M12= 12.

А13 =(–1)1+3×=4 ‒ 30= – 26; и т.д.

Свойства определителей

1.Определитель равен нулю, если содержит:

-нулевую строку или нулевой столбец;

-две одинаковые строки (столбца);

-две пропорциональных строки (столбца).

Пример:

=0; = 0;= 0;III= I× (-3).

2.Общий множитель элементов любой строки(столбца) можно выносить за знакопределителя.

Пример:

=2×= 2×(30+24+4‒24+8+15) = 2×57= 114.

3.Определитель не изменится, если кэлементам любой строки (столбца) прибавитьэлементы другой строки (столбца)умноженные на одно число.

Пример:

I× 5 + II; I × (‒2) + III; I × (‒ 4) + IV;

== 1×(–1)1+3×.

Вырожденные и невырожденные матрицы, обратная матрица

МатрицаА-1называетсяобратной к матрице A,если при умножении ее на матрицу A,как справа, так и слева, получитсяединичная матрица.

А-1×A=A×А-1=E

Матрицаназывается невырожденной,если ее определитель не равен 0, иназывается вырожденной,если ее определитель равен 0.

Теорема.

Обратнаяматрица А-1существуеттолько тогда, когда матрица невырожденная,т.е. |A|≠ 0.

Алгоритмнахождения.

1.Найти определитель матрицы А.

Если│A│=0, то обратная матрица не существует,если │A│≠0, то перейти ко второму шагу.

2.Найти матрицу AT,транспонированную к матрице А.

3.Найти алгебраические дополненияэлементов матрицы ATи составить из них матрицу Ã,которая называется присоединенной.

Ã=

4.Обратную матрицу найти по формуле:

5.Сделать проверку АA= E

Решение матричных уравнений

Матричное уравнение имеет вид:

A× Х= B

Умножимобе части уравнения на матрицу А1слева:

А-1×A×Х = А-1×В.

Таккак А-1×А=Е,тоЕ×Х = А-1×В.

ТаккакЕ× Х=X,тоХ= А-1×В

Пример:

Дано:

А= ;

В= ;

Найти:

X‒?

Решение:

1)│А│=

2)AT=.

3)

Ã=.

4)А-1= × Ã =×=

Х=А-1×B=

Ответ:

Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы

Рангомматрицы называется наивысший порядокне равных нулю миноров этой матрицы.

Обозначается rang(A)или r(A).

Теорема1.Ранг матрицы не превосходит наименьшегоиз ее размеров.

r(A)≤ min (m; n)

Пример:

А2×3= ;

r(A)≤ min(2; 3) = 2, т. е. согласно теореме r(A)≤ 2.

=3 + 24 = 27 0; r(A)= 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема2.Ранг квадратной матрицы n-гопорядка равен ее порядку, если она невырожденная.

Примеры:

1)А3×3= ;r(A)≤ 3.

А│== 24 + 0 – 4 + 4 – 18 – 0 = 6 0 матрица не вырожденнаяr(A)= 3.

2)А3×3=;│А│=0, т.к.III = I × (– 3) r(A)< 3.

=0 + 5 = 5 0 r(A)= 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема3.Ранг матрицы не изменяется при элементарныхпреобразованиях матрицы.

Источник: https://studfile.net/preview/6055013/page:3/

Определитель 4 порядка. Калькулятор

Правило треугольника определение. Как найти определитель матрицы правило треугольника

Определители четвертого и старших порядков возможно вычислять по упрощенным схемам, которые заключаются в разложении по элементам строк или столбцов или сведении к треугольному виду. Оба метода для наглядности будут рассмотрены на матрицах 4-го порядка.

Метод разложения по элементам строк или столбцов

Первый пример мы рассмотрим с подробными объяснениями всех промежуточных действий.

Пример 1. Вычислить определитель методом разложения.

Решение. Для упрощения вычислений разложим определитель четвертого порядка по элементам первой строки (содержит нулевой элемент). Они образуются умножением элементов на соответствующие им дополнения (образуются вычеркивания строк и столбцов на пересечении элемента, для которого исчисляются – выделено красным)

В результате вычисления сведутся к отысканию трех определителей третьего порядка, которые находим по правилу треугольников

Найденные значения подставляем в выходной детерминант

Результат легко проверить с помощью матричного калькулятора YukhymCALC . Для этого в калькуляторе выбираем пункт Матрицы-Определитель матрицы, размер матрицы устанавливаем 4*4.

Далее вводим же матрицу и осуществляем вычисления. Результатом расчетов будет следующий вывод данных

Результаты совпадают, следовательно вычисления проведены верно.

Пример 2. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка.

Решение.

Как и в предыдущем задании осуществим вычисления методом разложения. Для этого выберем элементы первого столбца. Упрощенно определитель можно подать через сумму четырех детерминант третьего порядка в виде

Далее переходим к отысканию определителей по правилу треугольников

Вычисления не слишком сложные, главное не напутать со знаками и треугольниками. Найденные величины подставляем в главный определитель и суммируем

Результат проверяем матричным калькулятором YukhymCALC . Правильность расчетов подтверждается следующим рисунком

Метод возведения определителя к треугольному виду

Данный метод позволяет ряд определителей вычислить достаточно быстрый способ. Суть его заключается в объединении определителя к треугольному виду, при этом следует учитывать все множители на которые увеличиваем или уменьшаем строки и учете при конечных расчетах. Из данного определения Вы ничего для себя не поймете, поэтому лучше все показать на конкретных примерах.

Пример 3. Найти определитель матрицы сведением к треугольному виду

Решение.

Сначала осуществляем математические манипуляции, чтобы получить все нулевые элементы кроме первого в первом столбце. Для этого от второй строки вычитаем первый, умноженный на два. В результате получим

Далее есть два варианта: от третьей строки вычесть первый умноженный на три, или от третьего вычесть сумму первых двух строк. Последний вариант позволит получить сразу два нуля в строке, его и выбираем

Дальше целесообразнее от четвертой отнять удвоенную вторую строчку. В результате элементарных преобразований определитель примет вид

Осталось превратить в ноль один элемент в третьем столбце. Для этого от четвертой строки вычитаем удвоенную третью в предварительно записанном определителе

По свойству, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

По желанию можно проверить результат матричным калькулятором.

В этом примере никаких умножений строк, в которых зануливали элементы мы не выполняли, поэтому полностью раскрыть метод на этом примере не получилось.

Рассмотрим более сложный.

Пример 4.

Найти определитель матрицы 4-го порядка

Решение.

Элементарными преобразованиями сводим определитель к треугольного вида. Для этого от каждой строки вычитаем первый. В результате преобразований получим следующий детерминант

Для удобства вычислений, меняем третью строчку со вторым местами..

По свойству определителей любая замена строк местами ведет к изменению знака определителя. Учитываем это в некотором множителе k=-1.

От третьей строки вычитаем второй, умноженный на минус три. После упрощений получим

Превращаем в ноль последний элемент во втором столбце, для этого вычитаем вторую строчку умноженный на 2.

Результат будет следующим

От удвоенного четвертой строки вычитаем третий. По свойству, умножения строки на постоянную а ведет к изменению определителя в а раз. Данное изменение фиксируем в множителе k=-1*2=-2.

Окончательное значение определителя будет равно произведению диагональных элементов разделенных (или нормированных) на множитель k, который отвечает за изменение детерминанта при элементарных преобразованиях. Выполняем вычисления

Проверка матричным калькулятором подтверждает правильность производимых вычислений.

Метод разложения определителя по элементам строк или столбцов достаточно быстрым при исчислении определителей больших размеров. Метод сведения к треугольного вида эффективен, если элементарные преобразования легко проследить и не приводят к большим произведений.

В других случаях нужно пользоваться комбинацией этих методов, в последнее образовывать как можно больше нулевых элементов, а методом разложения по строкам или столбцам уменьшать количество выполненных операций.

Это позволит без проблем вычислять определители третьего, четвертого и даже пятого порядка.

Источник: https://yukhym.com/ru/matritsy-i-opredeliteli/opredelitel-4-poryadka-kalkulyator.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.