Площадь треугольника если известны 2 стороны. Площадь треугольника – формулы и примеры решения задач

Площадь треугольника — формулы и калькулятор онлайн

Площадь треугольника если известны 2 стороны. Площадь треугольника - формулы и примеры решения задач

Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали 21 калькулятор для нахождения площади любого треугольника — равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного.

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)}

Формула для нахождения площади треугольника через 2 стороны и угол:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)}, где a, b — стороны треугольника, α — угол между ними.

Площадь треугольника через основание и высоту

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h}

Формула для нахождения площади треугольника через основание и высоту:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h}, где a — основание треугольника, h — высота треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

{S= \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}}

Формула для нахождения площади треугольника через описанную окружность и стороны:

{S= \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}}, где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

{S= r \cdot \dfrac{a + b + c}{2}}

Формула для нахождения площади треугольника через вписанную окружность и стороны:

{S= r \cdot \dfrac{a + b + c}{2}}, где a, b, c — стороны треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Формулу можно переписать иначе, если учитывать, что {\dfrac{a + b + c}{2}} — полупериметр треугольника. В этом случае формула будет выглядеть так: S = {r \cdot p}, где p — полупериметр треугольника.

Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла

{S= \dfrac{a2}{2} \cdot \dfrac{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}{sin(\gamma)}}
{\gamma = 180 – (\alpha + \beta)}

Формула для нахождения площади треугольника через сторону и 2 прилежащих угла:

{S= \dfrac{a2}{2} \cdot \dfrac{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}{sin(\gamma)}}, где a — сторона треугольника, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол, который можно найти по формуле:

{\gamma = 180 — (\alpha + \beta)}

Площадь треугольника по формуле Герона

{S= \sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}}
{p= \dfrac{a+b+c}{2}}

Формула для нахождения площади треугольника по формуле Герона (если известны 3 стороны):

{S= \sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}}, где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр треугольника, который можно найти по формуле p = {\dfrac{a + b + c}{2}}

Площадь прямоугольного треугольника через 2 стороны

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по двум сторонам:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b}, где a, b — стороны треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

{S= \dfrac{1}{4} \cdot c2 \cdot sin (2 \alpha)}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу:

{S= \dfrac{1}{4} \cdot c2 \cdot sin (2 \alpha)}, где c — гипотенуза треугольника, α — любой из прилегающих острых углов.

Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot tg (\alpha)}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot tg (\alpha)}, где a — катет треугольника, α — прилежащий угол.

Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

{S= r \cdot (r + c)}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе:

{S= r \cdot (r+c)}, где c — гипотенуза треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность

{S= c_{1} \cdot c_{2}}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по вписанной окружности:

{S= c_{1} \cdot c_{2}}, где c1 и c2 — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

{S= (p-a) \cdot (p-b)}
{p= \dfrac{a+b+c}{2}}

Формула Герона для прямоугольного треугольника выглядит так:

{S= (p-a) \cdot (p-b)}, где a, b — катеты треугольника, p — полупериметр прямоугольного треугольника, который рассчитывается по формуле p = {\dfrac{a + b + c}{2}}

Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону

{S=\dfrac{b}{4} \sqrt{4 \cdot a2-b2}}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и сторону:

{S=\dfrac{b}{4} \sqrt{4 \cdot a2-b2}}, где a — боковая сторона треугольника, b — основание треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin( \alpha)}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin( \alpha)}, где a — боковая сторона треугольника, b — основание треугольника, α — угол между основанием и стороной.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту

{S=\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и высоту:

{S=\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h}, где b — основание треугольника, h — высота, проведенная к основанию.

Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot sin(\alpha)}

Формула площади равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними:

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot sin(\alpha)}, где a — боковая сторона треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

{S=\dfrac{b2}{4 \cdot tg \dfrac{\alpha}{2}}}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

{S=\dfrac{b2}{4 \cdot tg \dfrac{\alpha}{2}}}, где b — основание треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

{S= \dfrac{3 \sqrt{3} \cdot R2}{4}}

Формула площади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

{S= \dfrac{3 \sqrt{3} \cdot R2}{4}}, где R — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

{S= 3 \sqrt{3} \cdot r2}

Формула площади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

{S= 3 \sqrt{3} \cdot r2}, где r — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

{S= \dfrac{\sqrt{3} \cdot a2}{4}}

Формула площади равностороннего треугольника через сторону:

{S= \dfrac{\sqrt{3} \cdot a2}{4}}, где a — сторона треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

{S= \dfrac{h2}{\sqrt{3}}}

Формула площади равностороннего треугольника через высоту:

{S= \dfrac{h2}{\sqrt{3}}}, где h — высота треугольника.

Просмотров страницы: 133551

Источник: https://mnogoformul.ru/ploshhad-treugolnika-formuly-i-kalkulator-online

Площадь треугольника – формулы и примеры решения задач

Площадь треугольника если известны 2 стороны. Площадь треугольника - формулы и примеры решения задач

Ниже приведены формулы нахождения площади произвольного треугольника которые подойдут для нахождения площади любого треугольника, независимо от его свойств, углов или размеров.

Формулы представлены в виде картинки, здесь же приведены пояснения по применению или обоснованию их правильности.

Также на отдельном рисунке указаны соответствия буквенных обозначений в формулах и графических обозначений на чертеже.

Примечание. Если же треугольник обладает особыми свойствами (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний), можно использовать формулы, приведенные ниже, а также дополнительно специальные, верные только для треугольников с данными свойствами, формулы: 

  

Формулы площади треугольника

Пояснения к формулам:
a, b, c – длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти
r – радиус вписанной в треугольник окружности
R – радиус описанной вокруг треугольника окружности
h – высота треугольника, опущенная на сторону
p – полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон (периметра)
α – угол, противолежащий стороне a треугольника
β – угол, противолежащий стороне b треугольника
γ – угол, противолежащий стороне c треугольника
hahbh– высота треугольника, опущенная на сторону a, b, c

Обратите внимание, что приведенные обозначения соответствуют рисунку, который находится выше, чтобы при решении реальной задачи по геометрии Вам визуально было легче подставить в нужные места формулы правильные значения.

  • Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена (Формула 1). Правильность этой формулы можно понять логически. Высота, опущенная на основание, разобьет произвольный треугольник на  два прямоугольных. Если достроить каждый из них до прямоугольника с размерами b и h, то, очевидно, площадь данных треугольников будет равна ровно половине площади прямоугольника (Sпр = bh)
  • Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (Формула 2 ) (см. пример решения задачи с использованием этой формулы ниже). Несмотря на то, что она кажется непохожей на предыдущую, она легко может быть в нее преобразована. Если из угла B опустить высоту на сторону b, окажется, что произведение стороны a на синус угла γ по свойствам синуса в прямоугольном треугольнике равно проведенной нами высоте треугольника, что и даст нам предыдущую формулу
  • Площадь произвольного треугольника может быть найдена через произведение половины радиуса вписанной в него окружности на сумму длин всех его сторон (Формула 3), проще говоря, нужно полупериметр треугольника умножить на радиус вписанной окружности (так легче запомнить)
  • Площадь произвольного треугольника можно найти, разделив произведение всех его сторон на 4 радиуса описанной вокруг него окружности (Формула 4)
  • Формула 5 представляет собой нахождение площади треугольника через длины его сторон и его полупериметр (половину суммы всех его сторон)
  • Формула Герона (6) – это представление той же самой формулы без использования понятия полупериметра, только через длины сторон
  • Площадь произвольного треугольника равна произведению квадрата стороны треугольника на синусы прилежащих к этой стороне углов деленного на двойной синус противолежащего этой стороне угла (Формула 7)
  • Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение двух квадратов описанной вокруг него окружности на синусы каждого из его углов. (Формула 8)
  • Если известна длина одной стороны и величины двух прилежащих к ней углов, то площадь треугольника может быть найдена как квадрат этой стороны, деленный на двойную сумму котангенсов этих углов (Формула 9)
  • Если известна только длина каждой из высот треугольника (Формула 10), то площадь такого треугольника обратно пропорциональна длинам этих высот, как по Формуле Герона
  • Формула 11 позволяет вычислить площадь треугольника по координатам его вершин, которые заданы в виде значений (x;y) для каждой из вершин. Обратите внимание, что получившееся значение необходимо взять по модулю, так как координаты отдельных (или даже всех) вершин могут находиться в области отрицательных значений

См. также площадь равнобедренного треугольника.

Примечание. Далее приведены примеры решения задач по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, похожей на которую здесь нет – пишите об этом в форуме.

В решениях вместо символа “квадратный корень” может применяться функция sqrt(), в которой sqrt – символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение.

 Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √

Задача. Найти площадь по двум сторонам и углу между ними

Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Для решения этой задачи используем формулу номер два из теоретической части урока. Площадь треугольника может быть найдена через длины двух сторон и синус угла межу ними и будет равна

S=1/2 ab sin γ

Поскольку все необходимые данные для решения (согласно формуле) у нас имеются, нам остается только подставить значения из условия задачи в формулу: S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60   

В таблице значений тригонометрических функций найдем и подставим в выражение значение синуса 60 градусов. Он будет равен корню из трех на два. 
S = 15 √3 / 2

Ответ: 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно оставить и 15 √3/2)

Задача. Найти площадь равностороннего треугольника

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.

Решение.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c – a)(a + c – b)(a + b -c) )

Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 32

S = 9 √3 / 4

Ответ: 9 √3 / 4. 

Задача. Изменение площади при изменении длины сторон

Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?

Решение.

Поскольку размеры сторон треугольника нам неизвестны, то для решения задачи будем считать, что длины сторон соответственно равны произвольным числам a, b, c. Тогда для того, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем площадь данного треугольника, а потом найдем площадь треугольника, стороны которого в четыре раза больше. Соотношение площадей этих треугольников и даст нам ответ на задачу.

Далее приведем текстовое пояснение решения задачи по шагам. Однако, в самом конце, это же самое решение приведено в более удобном для восприятия графическом виде. Желающие могут сразу опуститься вниз решения.

Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической части урока). Выглядит она следующим образом:

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c – a)(a + c – b)(a + b -c) ) 
(см. первую строку рисунка внизу)

Длины сторон произвольного треугольника заданы переменными a, b, c.
Если стороны увеличить в 4 раза, то площадь нового треугольника с составит:

S2 = 1/4 sqrt( ( 4a + 4b + 4c)(4b + 4c – 4a)(4a + 4c – 4b)(4a + 4b -4c) )
(см. вторую строку на рисунке внизу)

Как видно, 4 – общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений по общим правилам математики.
Тогда

S2 = 1/4 sqrt( 4 * 4 * 4 * 4 ( a + b + c)(b + c – a)(a + c – b)(a + b -c) ) – на третьей строке рисунка
S2 = 1/4 sqrt( 256 ( a + b + c)(b + c – a)(a + c – b)(a + b -c) ) – четвертая строка

Из числа 256 прекрасно извлекается квадратный корень, поэтому вынесем его из-под корня    
S2 = 16 * 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c – a)(a + c – b)(a + b -c) )
S2 = 4 sqrt( ( a + b + c)(b + c – a)(a + c – b)(a + b -c) )
(см. пятую строку рисунка внизу)

Чтобы ответить на вопрос, заданный в задаче, нам достаточно разделить площадь получившегося треугольника, на площадь первоначального.
Определим соотношения площадей, разделив выражения друг на друга и сократив получившуюся дробь.

S2 / S = 16
(см. внизу подробнее запись в виде дроби и ее сокращения – в последней строке)

На рисунке логика вычисления решения, описанного выше, приведена уже в виде формул (одна за другой)

Ответ: Площадь треугольника увеличится в 16 раз

10380.6235  

 Сумма углов треугольника | Описание курса | Медиана треугольника 

Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson133/

Площадь треугольника по трем сторонам

Площадь треугольника если известны 2 стороны. Площадь треугольника - формулы и примеры решения задач

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом.

Формула площади сектора кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы

Пусть дана окружность радиуса R и окружности радиуса r. Причем R>r. Совместим центры этих окружностей. Возьмем на окружности с большим радиусом две произвольные точки. Проведем к ним радиусы, которые образуют угол α. Эти радиусы отсекут от окружностей некоторые дуги.

Фигура, заключенная между этими дугами окружностей и радиусами, проведенными к концам этих дуг, и будет сектор кольца, у которого R является внешним радиусом, r -внутренним радиусом.Тогда площадь этой фигуры будет равна разницы между площадью сектора круга с большим радиусом и площадью сектора круга с меньшим радиусом.

Площадь сектора круга с радиусом r выражается формулой:

где l–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора. Получим:
Площадь круга с радиусом R выражается формулой:
где L–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора.

Получим:

Тогда площадь кольца будет равна:

Таким образом, площадь сектора кольца равна произведению площади единичного сектора кольца, то есть сектору, соответствующему центральному углу с мерой равной единице на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.

Формула имеет вид:

Пример расчета площади сектора кольца, если известны его радиусы.Найдите площадь сектора кольца, образованного углом 30° , если его внешний радиус равен 14, а внутренний – 8.Площадь кольца вычисляется по формуле:

Подставив значения из условия задачи, имеем:

Page 3

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения.

Построим вписанную в конус правильную n-угольную пирамиду и опишем вокруг данного конуса правильную n-угольную пирамиду.Вписанная пирамида содержится в конусе. Из этого следует, что ее объем не больше объема конуса.

Описанная пирамида содержит конус, а это значит, что ее объем не меньше объема конуса.

Впишем в основание вписанной пирамиды окружность.
Если радиус вписанного правильного n-угольника равен R, то радиус вписанной в него окружности будет равен:

Объем вписанной пирамиды вычисляется по формуле:

где S – основание пирамиды.
Площадь данного круга вычисляется по формуле: Площадь основания вписанной пирамиды не меньше площади круга, содержащегося в ней

Поэтому утверждение, что объем вписанной в конус пирамиды не меньше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий эту пирамиду будет больше или равен
V≥

Теперь опишем окружность вокруг основания описанной вокруг конуса пирамиды.
Радиус этой окружности будет равен:

Площадь данного круга вычисляется по формуле:
Основание описанной пирамиды содержится в круге описанном вокруг него. Поэтому площадь основания пирамиды не больше
Поэтому утверждение,что объем описанной пирамиды не больше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий в эту пирамиду будет меньше или равен

Два полученных неравенства равны при любом n.

Если то
Тогда из первого неравенства следует, что V≥
Из второго неравенства

Отсюда следует, что

Объем конуса равен одной трети произведения радиуса на высоту.

Пример расчета объема конусаНайти объем конуса, если его радиус основания равен 3 см, а образующая 5 см.

Объем конуса вычисляется по формуле:

Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора имеем:

Отсюда:

Подставим значение радиуса и высоты в формулу объема конуса.Имеем:

Page 4

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса.

Дополним данный усеченный конус до полного . Пусть его высота будет x . Если высота усеченного конуса – h , то высота отсеченного конуса будет – x-h .

Высота усеченного конуса будет равна разности объема полного конуса с радиусом R1и высотой x и объема полного конуса с радиусом R2. и высотой x-h.

Из подобия этих конусов получаем:
Выразим x:

Тогда объем усеченного конуса можно выразить:
Применив формулу разницы кубов, имеем:

Таким образом, формула объема усеченной пирамиды имеет вид:

Пример расчета объема усеченного конусаРадиусы основания усеченного конуса равны 11 и 27 , образующая относится к высоте как 17:15 . Найдите объем усеченного конуса.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и разница радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора получаем: Так как образующая относится к высоте как 17:15, то L=17x, H=15x.

Тогда:

Тогда высота усеченного конуса будет равна:

Подставим значения в формулу объема усеченного конуса. Получим:

Page 5

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Page 6

У большинства детей младшего школьного возраста хорошо развита механическая память, которая задействуется при выучивании правил.

Но для отдельных детей, а особенно творческих личностей, зубрежка является невыносимой.

Родители, думающие, что их чадо не способно освоить изучение таблицы умножения и поэтому в дальнейшем будет отставать в математике, заблуждаются. На самом деле к нему нужен совершенно другой, особый подход.

Читать далее

Ниже представлена таблица степеней от 2 до 10 натуральных чисел от 1 до 20.
Читать далее

Таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100
Читать далее

Таблица факториалов от 1 до 40
Читать далее

Page 7

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Источник: https://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-treugolnika-po-trem-storonam/

Площадь треугольника

Площадь треугольника если известны 2 стороны. Площадь треугольника - формулы и примеры решения задач

Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия)Площади

      Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

ФигураРисунокФормула площадиОбозначения
Произвольный треугольник

Посмотреть вывод формулы

a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

.

Посмотреть вывод формулы Герона

a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы

a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

S = 2R2 sin A sin B sin C

Посмотреть вывод формулы

A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Равносторонний (правильный) треугольник

Посмотреть вывод формулы

a – сторона

Посмотреть вывод формулы

h – высота

Посмотреть вывод формулы

r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

R – радиус описанной окружности

Прямоугольный треугольник

Посмотреть вывод формулы

a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Произвольный треугольник

где
a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

.

где
a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы Герона

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 sin A sin B sin C

где
A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник

где
a – сторона

Посмотреть вывод формулы

где
h – высота

Посмотреть вывод формулы

где
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

где
a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Посмотреть вывод формулы

Произвольный треугольник

где
a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

.

где
a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы Герона

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 sin A sin B sin C

где
A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник

где
a – сторона

Посмотреть вывод формулы

где
h – высота

Посмотреть вывод формулы

где
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

где
a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Посмотреть вывод формулы

Вывод формул для площади произвольного треугольника

      Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а ha – высота, опущенная на эту сторону.

      Доказательство.

Рис. 1

Достроив треугольник ABC до параллелограммапараллелограмма ABDC (рис. 1), получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

      Доказательство.

Рис. 2

Поскольку

ha = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

      Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

      Доказательство.

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = hactg C ,       y = hactg B ,

то

a = x + y =
= hactg C + hactg B =
= ha( ctg C + ctg B) .

      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

      Поэтому

a = 2R sin A ,    
b = 2R sin B ,    
c = 2R  sin C ,

      В силу утверждения 5

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

      Утверждение 7.

      Доказательство.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

      Утверждение 8.

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 11.

  2. Рис. 11

    В силу утверждения 2

  3. Рассмотрим рисунок 12.

  4. Рис. 12

    Поскольку

    b = a tg φ ,

    то

  5. Рассмотрим рисунок 13.

  6. Рис. 13

    Поскольку

    b = a ctg φ ,

    то

  7. Рассмотрим рисунок 14.

  8. Рис. 14

    Поскольку

    a = c cos φ ,    
    b = c sin φ ,

    то

          Доказательство утверждения 8 завершено.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/sqt.htm

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.