Методы вычисления пределов функции. Примеры нахождения пределов функций. Определение предела функции

Как решать пределы для чайников?

Методы вычисления пределов функции. Примеры нахождения пределов функций. Определение предела функции

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что “скучная теория” должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Пример 1
Вычислить а) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $; б)$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} $
Решение
а) $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$б)$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ \text{a)} \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \text{ б)}\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$
Пример 2
$$ \lim \limits_{x \to 1} \frac{x2 + 2x + 1}{x + 1} $$
Решение
Внимание “чайникам” 🙂 Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:$$ \lim \limits_{x \to 1} \frac{x2+2 \cdot x+1}{x+1}=\frac{12+2 \cdot 1+1}{1+1} = $$$$ = \frac{4}{2}=2 $$Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними – это не так страшно как кажется 🙂
Ответ
$$ \lim \limits_{x \to 1} \frac{x2 + 2x + 1}{x + 1} = 2 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $

Пример 3
Решить $ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x2-1}{x+1} $
Решение
Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела. $$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x2-1}{x+1} = \frac{(-1)2-1}{-1+1}=\frac{0}{0} $$Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a2-b2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её :)Получаем, что числитель $ x2-1=(x-1)(x+1) $Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:$$ \lim \limits_{x \to -1}\frac{x2-1}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$$$ = \lim \limits_{x \to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$
Ответ
$$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x2-1}{x+1} = -2 $$
Пример 4
$$ \lim \limits_{x \to 2}\frac{x2-4}{x2-4x+4} $$
Решение
$$ \lim \limits_{x \to 2}\frac{x2-4}{x2-4x+4} = \frac{0}{0} = $$$$ = \lim \limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)2} = $$$$ = \lim \limits_{x \to 2}\frac{x+2}{x-2} = \frac{2+2}{2-2} = \frac{4}{0} = \infty $$Бесконечность получилась в результате – это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.
Ответ
$$ \lim \limits_{x \to 2}\frac{x2-4}{x2-4x+4} = \infty $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $

Пример 5
Вычислить $ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x2-1}{x+1} $
Решение
$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x2-1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty} $Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное – возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем…$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x2-1}{x+1} =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x2(1-\frac{1}{x2})}{x(1+\frac{1}{x})} = $$$$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x(1-\frac{1}{x2})}{(1+\frac{1}{x})} = $$Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:$$ = \frac{\infty(1-\frac{1}{\infty})}{(1+\frac{1}{\infty})} = \frac{\infty \cdot 1}{1+0} = \frac{\infty}{1} = \infty $$
Ответ
$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x2-1}{x+1} = \infty $$
Пример 6
$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x2-4}{x2-4x+4} $$
Решение
$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x2-4}{x2-4x+4} = \frac{\infty}{\infty} $$Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем…$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x2-4}{x2-4x+4} = \frac{\infty}{\infty} = $$$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x2(1-\frac{4}{x2})}{x2(1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x2})} = $$$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{1-\frac{4}{x2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x2}} = \frac{1}{1} = 1 $$
Ответ
$$ \lim \limits_{x \to \infty}\frac{x2-4}{x2-4x+4} = 1 $$

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

  1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: “ноль делить на ноль” или “бесконечность делить на бесконечность” и переходим к следующим пунктам инструкции.
  2. Чтобы устранить неопределенность “ноль делить на ноль” нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
  3. Если неопределенность “бесконечность делить на бесконечность”, тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы.

В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее.

Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/kak-reshat-predely-dlya-chajnikov.html

Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений

Методы вычисления пределов функции. Примеры нахождения пределов функций. Определение предела функции

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

 

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе.

Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла.

В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

 

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

 

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Источник: https://Zaochnik-com.ru/blog/predely-dlya-chajnikov-teoriya-primery-reshenij/

Методы вычисления пределов функций и раскрытия неопределенностей

Методы вычисления пределов функции. Примеры нахождения пределов функций. Определение предела функции

Изложены приемы и методы решения задач на вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Рассмотрены следующие вопросы: пределы с непрерывными и сложными функциями; известные пределы; сведение неопределенности одного вида к другому; раскрытие неопределенностей с дробями из многочленов и корней; сравнение функций и решение разложением в степенной ряд; правило Лопиталя.

Здесь мы применим теорию к решению задач на вычисление пределов. Теория изложена в разделах «Предел последовательности», «Предел функции» и «Непрерывность функции».
Далее изложены приемы и методы вычисления пределов.

Пределы с непрерывными функциями

Если функция f непрерывна в конечной точке , то
.
См. «Определение непрерывности». Элементарные функции: , и обратные к ним, непрерывны на своих областях определения.

Пределы с показательной и степенной функциями

Следующие пределы следуют из свойств показательной и степенной функций.
При : , , , .
При : , , , .
При : , , , .
При : , , , .

Замечательные пределы

Первый замечательный предел и его следствия:
;   ;   ;   ;   .
См. «Доказательство первого замечательного предела и его следствий», «Примеры решений задач».

Второй замечательный предел и его следствия:
;   ;   ;   ;   ;   ;   ;   .
См. «Доказательство второго замечательного предела и его следствий», «Примеры решений задач».

Применение замены переменной

Если функцию можно представить в виде сложной:
,
то можно попытаться упростить процесс вычисления предела , выполняя замену переменной. Для этого мы вычисляем предел
.
Здесь может быть конечным числом , либо одним из символов: .
Если является конечным числом и функция непрерывна в точке , то
.

Если функция не является непрерывной в , то мы должны вычислить предел
.
Если он существует, и при этом существует такая окрестность точки , на которой
  при  , то существует исходный предел

.

См. «Замена переменной при решении пределов».

Например,
,   .

Арифметические свойства предела функции

Если существуют конечные пределы ,   , то существуют пределы суммы, разности и произведения функций:
,   ,   .
Если , то существует предел частного:
.

В частности, если C есть постоянная, то
,   .
См. «Арифметические свойства предела функции».

Аналогичные свойства имеют место и для бесконечно больших и бесконечно малых функций. Они изложены на странице «Бесконечно малые и бесконечно большие функции».

При вычислении таких пределов выполняются следующие правила:
;   ;
;   ;
;   ;   ;
;
;
;   ;   .
Пусть a – произвольное действительное число. Тогда
;   ;
;   ;   ;   .
Пусть a > 0.

Тогда
;   ;   .
Пусть a < 0. Тогда
;     .

Эти правила применяются следующим образом. Пусть, например ,   , где – конечное положительное число. Тогда
;
;
;
. В последнем случае, если это не промежуточное вычисление, можно опустить знак у нуля:

.

Неопределенности

Применение только арифметические свойств пределов не всегда приводит к результату, если в состав исследуемого выражения входят бесконечно большие и бесконечно малые функции.

Следующие операции не определены:
;   ;   ;   ;
;   ;   ;
;   ;   ;   ;
    .
Это, так называемые неопределенности.

В этих случаях арифметических свойств не достаточно и, для вычисления величины предела, нужно выполнять преобразования, чтобы привести их к известным пределам. Такой процесс называется раскрытием неопределенности.

Выполняя преобразования, можно от неопределенности одного вида переходить к неопределенности другого вида. Последние три неопределенности сводятся к логарифмированием. Например так:
.
То есть мы от неопределенности перешли к . Далее ее можно свести к неопределенностям вида или :
;   .
К неопределенности сводится и неопределенность . Покажем это. Пусть и . Тогда
.

Далее излагаются методы раскрытия неопределенностей.

Раскрытие неопределенностей с дробями

При вычислении пределов с дробями, мы используем следующее свойство:
если значения функции изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела в произвольной точке .
См. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела».

Для примера рассмотрим следующую функцию:
,
где – функция, непрерывная в . Функции f и g отличаются только в одной точке : не определена в этой точке, а – определена и непрерывна. Тогда, согласно приведенному свойству, пределы этих функций в любой точке равны. Поэтому
.

То есть, при вычислении пределов от дробей, числитель и знаменатель можно умножать и делить на конечное число равных сомножителей. В результате таких действий, мы можем получить другую функцию, область определения которой может отличаться от исходной. Но, поскольку это изменение затрагивает только конечное число точек, то это никак не повлияет на существование и величину предела.

Дроби из многочленов

Пусть нам нужно вычислить предел от дроби из многочленов:
.
При , числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Мы имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия, разделим числитель и знаменатель на :
.
Далее применяем арифметические свойства пределов функции. Поскольку ,   то
.

Пусть теперь x стремится к конечному числу x0:  x → x0. Если возникает неопределенность вида 0/0, то многочлены в числителе и знаменателе необходимо разделить на x – x0. Например,
.

См. «Решение пределов с дробями из многочленов»

Дроби с корнями

При вычислении пределов дробей с корнями, часто бывают полезными следующие формулы:
,
,
,
. . . . . . . . . . . .
.

Например, пусть требуется вычислить предел
.
При . Мы имеем неопределенность вида . Применим вторую формулу. Подставим :
. Отсюда

;

;
.

Подобный прием также применяется и для раскрытия некоторых неопределенностей вида . Например:
.

См. «Решение пределов с корнями»

Сравнение функций. О большое и о малое

Говорят, что функция f ограничена относительно функции g при x → x0, пишут
  при  ,
если функции f и g определены на некоторой проколотой окрестности точки и существует такое число C, что на этой окрестности выполняется неравенство:
.
Здесь . Окрестность может быть как двусторонней, так и односторонней. В последнем случае пишут или .

Функции f и g называются функциями одного порядка при , пишут
  при  ,
если   и    при .

Функция α называется бесконечно малой по сравнению с функцией f при , пишут
  при  ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.

Если, в предыдущем определении, f является бесконечно малой функцией при , то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка, чем f при .

Эквивалентные функции

Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при , пишут
  при  ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.

Если, при ,   , то .
Если, при ,     и  , то .
Если , то при .
Если , то при .
Если на некоторой проколотой окрестности точки ,
и , то
.

Если, при ,     и    и существует предел
, то существует и предел
(э.1)   .

В более общем случае, если при , , то
(э.1)   .
Знак равенства означает, что если существует один из этих пределов, то существует и равный ему второй. Если не существует один из пределов, то не существует и второй. Разумеется, можно менять не все функции а только одну или некоторые из них.

Приводим список часто применяющихся эквивалентных функций при :

;
. Таким образом применение эквивалентных функций, в ряде случаев, позволяет сразу упростить функцию за знаком предела.

Подчеркнем, что речь идет только о пределах вида (э.1). Для пределов функций других видов такая замена может привести к ошибкам.

См. «О большое и о малое.

Сравнение функций», «Применение эквивалентных функций при решении пределов».

Разложение в степенной ряд

Одним из методов раскрытия неопределенности в конечной точке является разложение функций в степенной ряд. Далее приводим разложения элементарных функций при .

;
;
,
где ;
;
;
,
где – числа Бернулли: ,   , ;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
;
.

Пример. Пусть нам требуется найти предел
.
Разложим числитель и знаменатель в степенной ряд, в окрестности точки , и находим предел:
;
;
.

См. «Решение пределов, используя ряд Тейлора»

Правило Лопиталя

Теорема о раскрытии неопределенности 0/0
Пусть функции f и g непрерывны и имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной () точки , причем и не равны нулю в этой окрестности. И пусть
. Тогда, если существует конечный или бесконечный предел

,

то существует равный ему предел

.

Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .

Теорема о раскрытии неопределенности ∞/∞
Пусть функции f и g непрерывны и имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной () точки , причем не равна нулю в этой окрестности. И пусть
. Тогда, если существует конечный или бесконечный предел

,

то существует равный ему предел

.

Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .

Вычислим предыдущий предел, используя правило Лопиталя.

.

См. «Решение пределов, используя правило Лопиталя»

Использованная литература: О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/reshenie-predelov/

Математика

Методы вычисления пределов функции. Примеры нахождения пределов функций. Определение предела функции

Тема 4.6.Вычисление пределов

Предел функции не зависит от того, определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.

1. Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, т.к.

предел элементарной функции f ( x ) при х стремящемся к а, которое входит в область определения, равен частному значению функции при х=а, т.е. lim f(x)=f(a) .

2. Если х стремится к бесконечности  или аргумент стремится к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.

Ниже приведены простейшие пределы, основанные на свойствах пределов, которые можно использовать как формулы:

Более сложные случаи нахождения предела функции:

 рассматриваются каждый в отдельности.

В этом разделе будут приведены основные способы раскрытия неопределенностей.

1. Случай, когда при х стремящемся к  афункция f ( x ) представляет отношение двух бесконечно малых величин

а) Сначала нужно убедится, что предел функции нельзя найти непосредственной подстановкой и при указанном изменении аргумента она представляет отношение двух бесконечно малых величин. Делаются преобразования, чтобы сократить дробь на множитель, стремящийся к 0. Согласно определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда с ним не совпадая.

Вообще если ищется предел функции при х стремящемся к а, то необходимо помнить, что х не принимает значения а, т.е. х не равен а.

б) Применяется теорема Безу. Если ищется предел дроби, числитель и знаменатель которой многочлены, обращающиеся в 0 в предельной точке х=а, то согласно вышеназванной теореме оба многочлена делятся без остатка на х-а.

в) Уничтожается иррациональность в числителе или в знаменателе путем умножения числителя или знаменателя на сопряженное к иррациональному выражение, затем после упрощения дробь сокращается.

г) Используется 1-й замечательный предел (4.1).

д) Используется теорема об эквивалентности бесконечно малых и следующие б.м.:

2. Случай, когда при х стремящемся к  афункция f ( x ) представляет отношение двух бесконечно больших величин

а) Деление числителя и знаменателя дроби на наивысшую степень неизвестного.

б) В общем случае можно использовать правило

3. Случай, когда  при х стремящемся к афункция f ( x ) представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую

Дробь преобразовывается к виду, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к 0 или к бесконечности , т.е. случай 3 сводится к случаю 1 или случаю 2.

4. Случай, когда  при х стремящемся к  афункция f ( x ) представляет разность двух положительных бесконечно больших величин

Этот случай сводится к виду 1 или 2 одним из следующих способов:

а) приведение дробей к общему знаменателю;

б) преобразование функции к виду дроби;

в) избавление от иррациональности.

5. Случай, когда при  х стремящемся к  афункция f ( x ) представляет степень, основание которой стремится к 1, а показатель к бесконечности .

Функция преобразовывается таким образом, чтобы использовать 2-й замечательный предел (4.2).

Пример. Найти  .

Так как х стремится к 3, то числитель дроби стремится к числу 32+3 *3+4=22, а знаменатель- к числу 3+8=11. Следовательно,

Пример

Здесь числитель и знаменатель дроби при х стремящемся к 2 стремятся к 0 (неопределенность вида ), разложим числитель и знаменатель на множители, получим  lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Пример

Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, имеем

Раскрываем скобки в числителе, получим

Пример

Уровень 2. Пример. Приведем пример применения понятия предела функции в экономических расчетах. Рассмотрим обыкновенную финансовую сделку: предоставление в долг суммы S0 с условием, что через период времени T будет возвращена сумма ST. Определим величину rотносительного роста формулой

r=(ST -S0)/S0     (1)

Относительный рост можно выразить в процентах, умножив полученное значение r на 100.

Из формулы (1) легко определить величину ST:

ST = S 0 (1 + r )

При расчете по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет, используют схему сложных процентов.

Она состоит в том, что если за 1-й год сумма S0 возрастает в (1 + r) раз, то за второй год в (1 + r) раз возрастает сумма S1 = S0(1 + r), то есть S2 = S0(1 + r)2.

Аналогично получается S3 = S0(1 + r)3. Из приведенных примеров можно вывести общую формулу для вычисления роста суммы за n лет при расчете по схеме сложных процентов:

Sn = S 0 (1 + r ) n .

В финансовых расчетах применяются схемы, где начисление сложных процентов производится несколько раз в году. При этом оговариваются годовая ставкаr и количество начислений за годk.

Как правило, начисления производятся через равные промежутки времени, то есть длина каждого промежутка Tk составляет часть года.

Тогда для срока в T лет (здесь T не обязательно является целым числом) сумма ST рассчитывается по формуле

(2)

где — целая часть числа , которая совпадает с самим числом, если, например, T ? целое число.

Пусть годовая ставка равна r и производится n начислений в год через равные промежутки времени. Тогда за год сумма S0 наращивается до величины, определяемой формулой

(3)

В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”.

Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно увеличивать соответственно, числа k и n (то есть устремить k и n к бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции ST и S1. Применим эту процедуру к формуле(3):

Заметим, что предел в фигурных скобках совпадает со вторым замечательным пределом. Отсюда следует, что при годовой ставке r при непрерывно начисляемом проценте сумма S0 за 1 год наращивается до величины S1*, которая определяется из формулы

S1* = S0er   (4)

Пусть теперь сумма S0 предоставляется в долг с начислением процента n раз в год через равные промежутки времени.

Обозначим re годовую ставку, при которой в конце года сумма S0 наращивается до величины S1* из формулы (4).

В этом случае будем говорить, что re — это годовая ставка при начислении процента n раз в год, эквивалентная годовому проценту r при непрерывном начислении. Из формулы (3) получаем

S*1=S0(1+re/n)n

Приравнивая правые части последней формулы и формулы (4), полагая в последней T = 1, можно вывести соотношения между величинами r и re:

Эти формулы широко используются в финансовых расчётах.

Пропустить Поиск по форумам Пропустить Тесты 3333 Пропустить Пользователи на сайте Пропустить Категории курсов Пропустить Последние объявления Пропустить Предстоящие события Пропустить Последние действия

Со времени Вашего последнего входа ничего не произошло

Page 3

Перейти к основному содержанию MOODLE КНИТУ (КХТИ) Скачать мобильное приложение

Источник: https://moodle.kstu.ru/mod/page/view.php?id=4497

Теория пределов. Методика вычисления

Методы вычисления пределов функции. Примеры нахождения пределов функций. Определение предела функции

Теория пределов – один из разделов математического анализа, который одним под силу освоить, другие с трудом вычисляют пределы. Вопрос нахождения пределов является достаточно общим, поскольку существуют десятки приемов решения пределов различных видов.

Одни и те же предела можно найти как по правилу Лопиталя, так и без него. Бывает, что расписание в ряд бесконечно малых функций позволяет быстро получить нужный результат. Существуют набор приемов и хитростей, позволяющих найти предел функции любой сложности.

В данной статье попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Теорию и определение предела мы здесь давать не будем, в интернете множество ресурсов где это разжевано.

Поэтому займемся практическим вычислениям, именно здесь у Вас и начинается “не знаю! Не умею! Нас не учили!”

Вычисление пределов методом подстановки

Пример 1. Найти предел функции
Lim((x2-3*x)/(2*x+5),x=3).

Решение: Такого сорта примеры по теории вычисляют обычной подстановкой

Предел равен 18/11.

Ничего сложного и мудрого в таких пределах нет – подставили значение, вычислили, записали предел в ответ. Однако на базе таких пределов всех приучают, что прежде всего нужно подставить значение в функцию.

Далее пределы усложняют, вводят понятие бесконечности, неопределенности и тому подобные.

Предел с неопределенностью типа бесконечность разделить на бесконечность. Методы раскрытия неопределенности

Пример 2. Найти предел функции
Lim((x2+2x)/(4×2+3x-4),x=infinity).


Решение: Задан предел вида полином разделить на полином, причем переменная стремится к бесконечности
Простая подстановка значения к которому следует переменная найти пределов не поможет, получаем неопределенность вида бесконечность разделить на бесконечность.

Пот теории пределов алгоритм вычисления предела заключается в нахождении наибольшего степени “икс” в числителе или знаменателе.

Далее на него упрощают числитель и знаменатель и находят предел функции
Поскольку значение стремятся к нулю при переменной к бесконечности то ими пренебрегают, или записывают в конечный выражение в виде нулей

Сразу из практики можно получить два вывода которые являются подсказкой в вычислениях.

Если переменная стремится к бесконечности и степень числителя больше от степени знаменателя то предел равен бесконечности. В противном случае, если полином в знаменателе старшего порядка чем в числителе предел равен нулю. Формулами предел можно записать так Если имеем функцию вида обычный поленом без дробей то ее предел равен бесконечности
Следующий тип пределов касается поведения функций возле нуля.

Пример 3. Найти предел функции
Lim((x2+3x-5)/(x2+x+2), x=0).
Решение: Здесь уже выносить старший множитель полинома не требуется.

С точностью до наоборот, необходимо найти наименьший степень числителя и знаменателя и вычислить предел

Значение x2; x стремятся к нулю когда переменная стремится к нулю Поэтому ими пренебрегают, таким образом получим

что предел равен 2,5.

Теперь Вы знаете как найти предел функции вида полином разделить на полином если переменная стремится к бесконечности или 0. Но это лишь небольшая и легкая часть примеров. Из следующего материала Вы научитесь как раскрывать неопределенности пределов функции.

Предел с неопределенностью типа 0/0 и методы его вычислений

Сразу все вспоминают правило согласно которому делить на ноль нельзя. Однако теория пределов в этом контексте подразумеваем бесконечно малые функции.
Рассмотрим для наглядности несколько примеров.

Пример 4. Найти предел функции
Lim((3×2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Решение: При подстановке в знаменатель значения переменной x = -1 получим ноль, то же самое получим в числителе. Итак имеем неопределенность вида 0/0.

Бороться с такой неопределенностью просто: нужно разложить полином на множители, а точнее выделить множитель, который превращает функцию в ноль. После разложения предел функции можно записать в виде
Вот и вся методика вычисления предела функции.

Так же поступаем если есть предел вида многочлен разделить на многочлен.

Пример 5. Найти предел функции
Lim((2×2-7x+6)/(3×2-x-10), x=2).
Решение: Прямая подстановка показывает
что имеем неопределенность типа 0/0.

Разделим полиномы на множитель которій вносит особенность

Есть преподаватели которые учат, что полиномы 2 порядка то есть вида “квадратные уравнения” следует решать через дискриминант. Но реальная практика показывает что это дольше и запутаннее, поэтому избавляйтесь особенности в пределах по указанному алгоритму.

Таким образом записываем функцию в виде простых множителей и вічисляем в предел
Как видите, ничего сложного в исчислении таких пределов нет. Делить многочлены Вы на момент изучения пределов умеете, по крайней мере согласно программе должны уже пройти.

Среди задач на неопределенность типа 0/0 встречаются такие в которых нужно применять формулы сокращенного умножения. Но если Вы их не знаете, то делением многочлена на одночлен можно получить нужную формулу.

Пример 6. Найти предел функции
Lim((x2-9)/(x-3), x=3).
Решение: Имеем неопределенность типа 0/0. В числителе применяем формулу сокращенного умножения
и вычисляем нужній предел

Метод раскрытия неопределенности умножением на сопряженное

Метод применяют к пределам в которіхнеопределенность порождают иррациональные функции. Числитель или знаменатель превращается в точке вычисления в ноль и неизвестно как найти границу.

Пример 7. Найти предел функции
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Решение:
Представим переменную в формулу предела

При подстановки получим неопределенность типа 0/0.

Согласно теории пределов схема обхода данной особенности заключается в умножении иррационального выражения на сопряженное.

Чтобы выражение не изменилось знаменатель нужно разделить на такое же значение
По правилу разности квадратов упрощаем числитель и вычисляем предел функции

Упрощаем слагаемые, создающие особенность в пределе и выполняем подстановку

Пример 8. Найти предел функции
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Решение: Прямая подстановка показывает что предел имеет особенность вида 0/0.
Для раскрытия умножаем и делим на сопряженное к числителю
Записываем разницу квадратов

Упрощаем слагаемые которые вносят особенность и находим предел функции

Пример 9. Найти предел функции
Lim((x2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Решение: Подставим двойку в формулу

Получим неопределенность 0/0.

Знаменатель нужно умножить на сопряженный выражение, а в числителе решить квадратное уравнение или разложить на множители, учитывая особенность.

Поскольку известно, что 2 является корнем, то второй корень находим по теореме Виета Таким образом числитель запишем в виде и подставим в предел Сведя разницу квадратов избавляемся особенности в числителе и знаменателе
Приведенным образом можно избавиться особенности во многих примерах, а применение надо замечать везде где заданная разница корней превращается в ноль при подстановке. Другие типы пределов касаются показательных функций, бесконечно малых функций, логарифмов, особых пределов и других методик. Но об этом Вы сможете прочитать в перечисленных ниже статьях о пределах.

Вычисления пределов в Мейпл

Данный материал полезен прежде всего для студентов. Возможно в программе обучения, а некоторые для себя изучает математические программы для облегчения обучения и проверки решений. Это могут быть математические пакеты MathСad, Мathematica, Maple. Вычисления пределов в Мейпл достаточно просто организовать даже новичку. Все что нужно – правильно ввести функцию предел которой находим.

> restart;

Предел первой функции из тех которые рассматривали в Мейпл иметь следующую запись. Жмем конце “Enter” и получим конечное значение пределов
> limit((x2+3*x)/(2*x+5),x=3); 18/11

Предел второй функции получим из записи

> limit((x2+2*x)/(4*x2+3*x-4),x=infinity);
1/4

Третий пример примет следующий вид:

> limit((x2+3*x-5)/(x2+x+2),x=infinity);
1

Мэйпл без проблем находит первый замечательный предел

> limit(sin(x)/x,x=0);
1

и второй замечательный предел

> limit((1+1/x)x,x=infinity);
exp(1).

Фрагмент вычисления пределов в математическом пакете Мэйпл приведен ниже

С Мейплом Вы без труда найдете предел логарифма, тригонометрических, экспоненциальных и других функций.

Источник: https://yukhym.com/ru/vychislenie-predelov/teoriya-predelov-metodika-vychisleniya.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.