График функции с отрицательной степенью. Функция. Степенная функция

Степенная функция с четным отрицательным показателем

Перейдемк степенной функции  при а=-2,-4,-6,….

Нарисунке изображены графики степенныхфункций  –черная линия,  –синяя линия,  –красная линия.

Свойствастепенной функции с четным отрицательнымпоказателем.

• Область определения: .При x=0 имеем разрыв второго рода, так как  приа=-2,-4,-6,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
• Область значений: .
• Функция четная, так как .
• Функция возрастает при , убывает при .
• Функция вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y=0, так какпри а=-2,-4,-6,….
• Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы

Обратитевнимание! Если a -положительная дробь с нечетнымзнаменателем, то некоторые авторысчитают областью определения степеннойфункции интервал .При этом оговариваются, что показательстепени a –несократимая дробь.

Сейчас авторы многихучебников по алгебре и началам анализаНЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции споказателем в виде дроби с нечетнымзнаменателем при отрицательных значенияхаргумента.

Мы будем придерживатьсяименно такого взгляда, то есть, будемсчитать областями определения степенныхфункций с дробными положительнымипоказателями степени множество .

Рекомендуем учащимся узнать взглядВашего преподавателя на этот тонкиймомент, чтобы избежать разногласий.

Приведемграфики степенных функций  при а=11/12 (чернаялиния), а=5/7 (краснаялиния),  (синяялиния), а=2/5 (зеленаялиния).

Придругих значениях показателястепени a,  графикифункции  будутиметь схожий вид.

Свойствастепенной функции при.

• Область определения: .
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция возрастает при .
• Функция выпуклая при .
• Точек перегиба нет.
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы

Рассмотримстепенную функцию  снецелым рациональным или иррациональнымпоказателем a,причем .

Приведемграфики степенных функций, заданныхформулами  (черная,красная, синяя и зеленая линиисоответственно).

Придругих значениях показателястепени a,  графикифункции  будутиметь схожий вид.

Свойствастепенной функции при.

• Область определения: .
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция возрастает при .
• Функция вогнутая при , если ; при , если .
• Точек перегиба нет.
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля

Обратитевнимание! Если a -отрицательная дробь с нечетнымзнаменателем, то некоторые авторысчитают областью определения степеннойфункции интервал .При этом оговариваются, что показательстепени a –несократимая дробь.

Сейчас авторы многихучебников по алгебре и началам анализаНЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции споказателем в виде дроби с нечетнымзнаменателем при отрицательных значенияхаргумента.

Мы будем придерживатьсяименно такого взгляда, то есть, будемсчитать областями определения степенныхфункций с дробными дробными отрицательнымипоказателями степени множество  соответственно.Рекомендуем учащимся узнать взглядВашего преподавателя на этот тонкиймомент, чтобы избежать разногласий.

Переходимк степенной функции ,кгода .

Чтобыхорошо представлять вид графиковстепенных функций при ,приведем примеры графиков функций  (черная,красная, синяя и зеленая кривыесоответственно).

Свойствастепенной функции с показателемa,.

• Область определения: . при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция убывает при .
• Функция вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
• Функция проходит через точку (1;1).

Источник: https://studfile.net/preview/1839199/page:3/

Степенная функция

Для удобства рассмотрения степенной функции будем рассматривать 4 отдельных случая: степенная функция с натуральным показателем, степенная функция с целым показателем, степенная функция с рациональным показателем и степенная функция с иррациональным показателем.

Степенная функция с натуральным показателем

Для начала введем понятие степени с натуральным показателем.

Определение 1

Степенью действительного числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется число, равное произведению $n$ множителей, каждый из которых равняется числу $a$.

Рисунок 1.

$a$ – основание степени.

$n$ – показатель степени.

Рассмотрим теперь степенную функцию с натуральным показателем, её свойства и график.

Определение 2

$f\left(x\right)=xn$ ($n\in N)$ называется степенной функцией с натуральным показателем.

Для дальнейшего удобства рассмотрим отдельно степенную функцию с четным показателем $f\left(x\right)=x{2n}$ и степенную функцию с нечетным показателем $f\left(x\right)=x{2n-1}$ ($n\in N)$.

Свойства степенной функции с натуральным четным показателем

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

1. Область определения — все действительные числа.

2. $f\left(-x\right)={(-x)}{2n}=x{2n}=f(x)$ — функция четна.

3. $f(x)$ – непрерывна на всей области определения.

4. Область значения — $[0,+\infty )$.

5. $f'(x)=\left(x{2n}\right)'=2n\cdot x{2n-1}$

   \[2n\cdot x{2n-1}=0\] \[x=0\]

   Функция убывает, при $x\in (-\infty ,0)$ и возрастает, при $x\in (0,+\infty )$.

6. $f(x)\ge 0$ на всей области определения

7. $f{''}\left(x\right)={\left(2n\cdot x{2n-1}\right)}'=2n(2n-1)\cdot x{2(n-1)}\ge 0$

   Функция выпукла на всей области определения.

8. Поведение на концах области определения:

   \[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } x{2n}\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } x{2n}\ }=+\infty \]

9. График (рис. 2).

Рисунок 2. График функции $f\left(x\right)=x{2n}$

Свойства степенной функции с натуральным нечетным показателем

1. Область определения — все действительные числа.

2. $f\left(-x\right)={(-x)}{2n-1}={-x}{2n}=-f(x)$ — функция нечетна.

3. $f(x)$ – непрерывна на всей области определения.

4. Область значения — все действительные числа.

5. $f'\left(x\right)=\left(x{2n-1}\right)'=(2n-1)\cdot x{2(n-1)}\ge 0$

   Функция возрастает на всей области определения.

6. $f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty )$.

7. $f{''\left(x\right)}={\left(\left(2n-1\right)\cdot x{2\left(n-1\right)}\right)}'=2\left(2n-1\right)(n-1)\cdot x{2n-3}$

   \[2\left(2n-1\right)\left(n-1\right)\cdot x{2n-3}=0\] \[x=0\]

   Функция вогнута, при $x\in (-\infty ,0)$ и выпукла, при $x\in (0,+\infty )$.

8. График (рис. 3).

Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=x{2n-1}$

Степенная функция с целым показателем

Для начала введем понятие степени с целым показателем.

Определение 3

Степень действительного числа $a$ c целым показателем $n$ определяется формулой:

Рисунок 4.

Рассмотрим теперь степенную функцию с целым показателем, её свойства и график.

Определение 4

$f\left(x\right)=xn$ ($n\in Z)$ называется степенной функцией с целым показателем.

Если степень больше нуля, то мы приходим к случаю степенной функции с натуральным показателем. Его мы уже рассмотрели выше. При $n=0$ мы получим линейную функцию $y=1$. Её рассмотрение оставим читателю. Осталось рассмотреть свойства степенной функции с отрицательным целым показателем

Свойства степенной функции с отрицательным целым показателем

1. Область определения — $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty )$.

2. Если показатель четный, то функция четна, если нечетный, то функция нечетна.

3. $f(x)$ – непрерывна на всей области определения.

4. Область значения:

   Если показатель четный, то $(0,+\infty )$, если нечетный, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty )$.

5. При нечетном показателе функция убывает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty )$. При четном показателе функция убывает при $x\in (0,+\infty )$. и возрастает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

6. $f(x)\ge 0$ на всей области определения

7. График (рис. 4).

Степенная функция с рациональным и иррациональным показателем

Определение 5

Степень действительного числа $a$ c рациональным показателем $n$ определяется формулой:

\[ar=\sqrt[n]{am}\]

Определение 6

$f\left(x\right)=xr$ ($r\in Q)$ называется степенной функцией с рациональным показателем.

Определение 7

Степень положительного числа $a$ c иррациональным показателем $\alpha $ называется выражение вида $a{\alpha }$, значение которого равно пределу последовательности $a{{\alpha }_0},\ a{{\alpha }_1},\ a{{\alpha }_2},\dots $, где ${\alpha }_0,\ {\alpha }_1,{\alpha }_2$ последовательные десятичные приближения иррационального числа $\alpha $.

Определение 8

$f\left(x\right)=xr$ ($r\in J)$ называется степенной функцией с иррациональным показателем.

Приведем графики степенных функций с рациональным и иррациональным показателем (рис. 5). Рассмотреть, аналогично, свойства этих функции оставим читателю.

Рисунок 6. График функции $f\left(x\right)=xr$

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/stepennaya_funkciya/

График функции с отрицательной степенью. Степенная функция

Степенная функция и ее свойства.

Степенная функция с натуральным показателем. Функ­ция у = хn , где n– натуральное число, называется степен­ной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:

Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональ­ностью называется функция, заданная формулой у =kxn, где число k называется коэффициентом пропорциональ­ности.

Перечислим свойства функции у=kx.

Область определения функции – множество всех действительных чисел.

y =kx– нечетная функция (f(-х) =k(-х)= –kx= –k(х)).

3) При k 0 функция возрастает, а при k убывает на всей числовой прямой.

Гра­фик (прямая) изображен на рисунке II.1.

При n=2 получаем функцию y = х2, ее свойства:

Функция у -х2 . Перечислим свойства функции у = х2.

у = х2 – четная функция (f(-х) = (-x)2=x2 =f(х)).

На промежутке функция убывает.

В самом доле, если ,то – х1 –х2 0, а потому

(-х1)2 (- х2)2, т. е. , а это и означает убывание функции.

Графиком функции y=х2 является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.

При n = 3 полу­чаем функцию у= х3 , ее свойства:

Область определения функции – вся числовая прямая.

y = х 3 – нечетная функция (f (-х) = { –x)2 = –х3 = –f (x)).

3) Функция y =x3 возрастает на всей числовой прямой. График функции y =x3 изображен на рисунке. Он на­зывается кубической параболой.

График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.

Пусть n– произвольное четное натуральное число, большее двух:

n = 4, 6, 8,… . В этом случае функция у = хnу = х2 .

График такой функ­ции напоминает параболу у = х2 , только ветви графика при |n| 1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.

Пусть n– произвольное нечетное число, большее трех: n= = 5, 7, 9, … . В этом случае функция у = хnобладает теми же свойствами, что и функция у = х3.

График такой функции на­поминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n.

Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.

Степенная функция с целым отрицательным показа­телем. Рассмотрим функцию у = х–n , где n – натуральное чис­ло. При n = 1получаем у = х–n или у = Свойства этой функции:

График (гипербола) изоб­ражен на рисунке II.4.

Пусть n – нечетное число, большее единицы,

n = 3, 5, 7, … . В этом случае функция у = х–n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у =График функции у = х–n (n = 3, 5, 7, …) напоминает

график функции у =. Пусть n– четное число, например п = 2. Перечислим не­которые свойства функции у = х -2 , т. е. функции y = .

Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х–n при четном n, большем двух.

График функции у = изображен на рисунке. Ана­логичный вид имеет график функции , если n = 4, 6, … .

Функции вида , , обладают теми же свойствами, как и функция .

Степенная функция с положительным дробным показа­телем. Рассмотрим функцию у = хr, где r– положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции.

Область определения – луч \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } x{2n}\ }=+\infty \]

График (рис. 2).

Рисунок 2. График функции $f\left(x\right)=x{2n}$

Степенная функция, ее свойства и графики



Представлены свойства и графики степенных функций при различных значениях показателя степени. Основные формулы, области определения и множества значений, четность, монотонность, возрастание и убывание, экстремумы, выпуклость, перегибы, точки пересечения с осями координат, пределы, частные значения.

На области определения степенной функции  y = x p  имеют место следующие формулы:
;   ;
;
;   ;
;   ;
;   .

Свойства степенных функций и их графики

Далее мы рассматриваем степенную функцию
y(x) = x p .

Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0

Если показатель степенной функции y = x p равен нулю, p = 0, то степенная функция определена для всех x ≠ 0 и является постоянной, равной единице:
y = x p = x 0 = 1,   x ≠ 0 .

Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, ..

Рассмотрим степенную функцию   y = x p = x n   с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, …. Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1, где k = 0, 1, 2, 3, … – целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.

График степенной функции   y = x n   с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, ….

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   –∞ < y < ∞
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность:   монотонно возрастает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при   –∞ < x < 0 выпукла вверх
при   0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегибов:   x = 0,   y = 0
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:
;  
Частные значения:
при x = –1,
y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k+1 = –1
при x = 0,   y(0) = 0 n = 0
при x = 1,   y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 1, функция является обратной к самой себе:   x = y
при n ≠ 1, обратной функцией является корень степени n:  

Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, ..

Рассмотрим степенную функцию   y = x p = x n   с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, …. Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k, где k = 1, 2, 3, … – натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.

График степенной функции   y = x n   с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, ….

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   0 ≤ y < ∞
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x ≤ 0 монотонно убывает
при x ≥ 0 монотонно возрастает
Экстремумы:   минимум,   x = 0,   y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:
;  
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k = 1
при x = 0,   y(0) = 0 n = 0
при x = 1,   y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 2, квадратный корень:  
при n ≠ 2, корень степени n:  

Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, ..

Рассмотрим степенную функцию   y = x p = x n   с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, …. Если положить n = –k, где k = 1, 2, 3, … – натуральное, то ее можно представить в виде:

График степенной функции   y = x n   с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ….

Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, ….

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y ≠ 0
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при x < 0:   выпукла вверх
при x > 0:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:
при x < 0,   y < 0
при x > 0,   y > 0
Пределы:
;   ;   ;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = (–1) n = –1
при x = 1,   y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = –1,  
при n < –2,  

Четный показатель, n = -2, -4, -6, ..

Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, ….

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y > 0
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0:   монотонно возрастает
при x > 0:   монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:   y > 0
Пределы:
;   ;   ;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = (–1) n = 1
при x = 1,   y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = –2,  
при n < –2,  

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем

Рассмотрим степенную функцию   y = x p   с рациональным (дробным) показателем степени , где n – целое, m > 1 – натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.

Знаменатель дробного показателя – нечетный

Пусть знаменатель дробного показателя степени     нечетный: m = 3, 5, 7, … . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x. Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.

Показатель p отрицательный, p < 0

Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7, … ) меньше нуля: .

Графики степенных функций     с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, … – нечетное.

Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем   ,   где n = -1, -3, -5, … – нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 … – нечетное натуральное.

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y ≠ 0
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при x < 0:   выпукла вверх
при x > 0:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:
при x < 0,   y < 0
при x > 0,   y > 0
Пределы:
;   ;   ;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = (–1) n = –1
при x = 1,   y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = -2, -4, -6, ..

Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем   ,   где n = -2, -4, -6, … – четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 … – нечетное натуральное.

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y > 0
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0:   монотонно возрастает
при x > 0:   монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:   y > 0
Пределы:
;   ;   ;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = (–1) n = 1
при x = 1,   y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Показатель p положительный, меньше единицы, 0 < p < 1

График степенной функции     с рациональным показателем (0 < p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Представлены свойства степенной функции   y = x p   с рациональным показателем   ,   находящимся в пределах 0 < p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < +∞
Множество значений:   –∞ < y < +∞
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при x < 0:   выпукла вниз
при x > 0:   выпукла вверх
Точки перегибов:   x = 0,   y = 0
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Знак:
при x < 0,   y < 0
при x > 0,   y > 0
Пределы:
;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = –1
при x = 0,   y(0) = 0
при x = 1,   y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 2, 4, 6, ..

Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем   ,   находящимся в пределах 0 < p < 1, где n = 2, 4, 6, ... – четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... – нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < +∞
Множество значений:   0 ≤ y < +∞
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0:   монотонно убывает
при x > 0:   монотонно возрастает
Экстремумы:   минимум при x = 0,   y = 0
Выпуклость: выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Знак:   при x ≠ 0,   y > 0
Пределы:
;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = 1
при x = 0,   y(0) = 0
при x = 1,   y(1) = 1
Обратная функция:

Показатель p больше единицы, p > 1

График степенной функции     с рациональным показателем (p > 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, … – нечетное.

Свойства степенной функции   y = x p   с рациональным показателем, большим единицы:   .   Где n = 5, 7, 9, … – нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 … – нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   –∞ < y < ∞
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность:   монотонно возрастает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при   –∞ < x < 0 выпукла вверх
при   0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = –1
при x = 0,   y(0) = 0
при x = 1,   y(1) = 1
Обратная функция:  

Четный числитель, n = 4, 6, 8, ..

Свойства степенной функции   y = x p   с рациональным показателем, большим единицы:   .   Где n = 4, 6, 8, … – четное натуральное, m = 3, 5, 7 … – нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   0 ≤ y < ∞
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 монотонно убывает
при x > 0 монотонно возрастает
Экстремумы:   минимум при   x = 0,   y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:
;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = 1
при x = 0,   y(0) = 0
при x = 1,   y(1) = 1
Обратная функция:  

Знаменатель дробного показателя – четный

Пусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, … . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).

Степенная функция с иррациональным показателем

Рассмотрим степенную функцию   y = x p   с иррациональным показателем степени p. Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x. Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.

Графики степенной функции y = x p при различных значениях показателя p.

Область определения:   x > 0
Множество значений:   y > 0
Монотонность:   монотонно убывает
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Пределы:   ;  
Частное значение:   При x = 1,   y(1) = 1p = 1

Область определения:   x ≥ 0
Множество значений:   y ≥ 0
Монотонность:   монотонно возрастает
Выпуклость:   выпукла вверх
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:  
Частные значения:   При x = 0,   y(0) = 0 p = 0.
При x = 1,   y(1) = 1 p = 1

Показатель больше единицы p > 1

Область определения:   x ≥ 0
Множество значений:   y ≥ 0
Монотонность:   монотонно возрастает
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:  
Частные значения:   При x = 0,   y(0) = 0 p = 0.
При x = 1,   y(1) = 1 p = 1

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/stepennaya/grafiki/

Основные элементарные функции: их свойства и графики



Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

Определение 1

• постоянная функция (константа);
• корень n-ой степени;
• степенная функция;
• показательная функция;
• логарифмическая функция;
• тригонометрические функции;
• братные тригонометрические функции.

Постоянная функция

Постоянная функция определяется формулой: y=C (C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C.

График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты (0, С). Для наглядности приведем графики постоянных функций y=5, y=-2, y=3, y=3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).

Определение 2

Свойства постоянных функций:

• область определения – все множество действительных чисел;
• постоянная функция – четная;
• область значений – множество, составленное из единственного числа C;
• постоянная функция является невозрастающей и неубывающей;
• постоянная функция – прямая линия, о выпуклости или вогнутости здесь речи быть не может;
• асимптоты отсутствуют;
• точка прохождения функции на координатной плоскости – (0; С).

Корень n-й степени

Данная элементарная функция определяется формулой y=xn (n – натуральное число больше единицы).

Рассмотрим две вариации функции.

1. Корень n-й степени, n – четное число

Для наглядности укажем чертеж , на котором изображены графики таких функций: y=x, y=x4 и y=x8. Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.

Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

Определение 3

Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

• область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [0, +∞);
• когда x=0, функцияy=xn имеет значение, равное нулю;
• данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
• область значений: [0, +∞);
• данная функция y=xn при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
• функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
• отсутствуют точки перегиба;
• асимптоты отсутствуют;
• график функции при четных n проходит через точки (0; 0) и (1; 1).
1. Корень n-й степени, n – нечетное число

Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y=x3, y=x5 и x9. На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.

Иные нечетные значения показателя корня функции y=xn дадут график аналогичного вида.

Определение 4

Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

• область определения – множество всех действительных чисел;
• данная функция – нечетная;
• область значений – множество всех действительных чисел;
• функция y=xn при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
• функция имеет вогнутость на промежутке (-∞; 0] и выпуклость на промежутке [0, +∞);
• точка перегиба имеет координаты (0; 0);
• асимптоты отсутствуют;
• график функции при нечетных n проходит через точки (-1; -1), (0; 0) и (1; 1).

Степенная функция

Определение 5

Степенная функция определяется формулой y=xa.

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

• когда степенная функция имеет целый показатель a, то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
• показатель степени  может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/osnovnye-elementarnye-funktsii/