Формула разложения бинома

Лекция №4. Бином Ньютона

Формула разложения бинома

В школьном курсе известны формулы сокращенного умножения:

и .

Можно раскрыть скобки при вычислении , и т.д., умножая полученный на предыдущем шаге результат на .

Однако, имеет место формула (1), которая носит название формула бинома Ньютона, хотя это название исторически не является справедливым, поскольку ее знали еще среднеазиатские математики Омар Хайям (1048-1131), Гийас ад-Дин Джешид ал-Коши (нач. XV в.). В западной Европе до Ньютона ее знал Паскаль (1623-1662). Итак, сформулируем теорему.

Теорема. Для любого справедливо равенство

, (1)

где .

В сокращенной форме формулу (1) можно записать в виде

.

Числа называют биномиальными коэффициентами, а сформулированная выше теорема называется биномиальной теоремой.

Доказательство. Для доказательства теоремы для всех натуральных значений воспользуемся методом математической индукции.

При получаем . Следовательно, при формула (1) верна.

Предположим, что формула (1) верна при , т.е. имеет место равенство

.

Докажем теперь, что формула (1) верна при , т.е.

.

Для этого представим в виде и для разложения множителя воспользуемся предположением индукции. Тогда, получим

(2)

Приводя подобные в (2), получим:

(3)

Заметим, , и, кроме того, справедливо тождество , поскольку

.

Следовательно, формулу (3) можно записать в виде

.

Итак, имеет место равенство . В силу метода математической индукции отсюда вытекает справедливость формулы (1) для всех натуральных значений . Теорема доказана.

Перечислим основные свойства биномиальных коэффициентов.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. или с использованием знака суммирования .

8. а) Если показатель бинома четный , то является наибольшим биномиальным коэффициентом и справедливы неравенства

и .

б) Если показатель бинома нечетный , то имеется два наибольших биномиальных коэффициента и справедливы неравенства

и .

Замечание. Свойство 8а и 8б являются следствие свойств 2 и 4.

Пример (для учащихся 11-го класса). Доказать, что справедливо равенство .

Доказательство. Запишем биномиальное разложение для :

.

Дифференцируя данное равенство, получим:

.

С другой стороны . Получаем равенство, справедливое при всех значениях :

.

При получаем доказываемое равенство:

.

Пример (для учащихся 11-го класса). Доказать равенство

.

Доказательство. Запишем биномиальное разложение для :

.

Обе части равенства представляют собой многочлены от , поэтому .

Первообразная функции равна , где произвольная постоянная.

Первообразная функции, стоящей в правой части разложения бинома, равна , где произвольная постоянная. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

. (*)

. (**)

Сравнивая правые части в (8) и (**), убеждаемся в справедливости доказываемого равенства.

Общий член разложения

Обычно вводится обозначение общий член разложения, который имеет вид , где . Индекс внизу у члена разложения означает его порядковый номер, считая слева направо, в разложении бинома.

Целесообразность представления порядкового номера определена тем, что при изменении от до получаются все члены разложения. Так
1-й член получим при , т.е. ;

2-й член получим при , т.е. ; …………………………………………….

-й член соответственно есть ;

……………………………………………..

-й член .

Пример.Найти 8-й член разложения бинома .

Решение.

.

Пример.В разложения бинома найти член, не зависящий от .

Решение. Используя формулу общего члена разложения, получим

.

Для того, чтобы член не зависел от требуется, чтобы показатель степени у равнялся 0, т.е. . Последнее равенство возможно только при . Следовательно, не зависит от и .

Треугольник Паскаля

Свойство 3 биномиальных коэффициентов позволяет вычислять биномиальные коэффициенты, используя только операцию суммирования, записав их в виде следующей ниже треугольной таблицы, называемой треугольником Паскаля.

1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
. ………………………………………………………
1…………… ……….1
1…………. …..…………..1

В -й строке треугольника Паскаля стоят коэффициенты разложения бинома , причем каждый коэффициент, кроме крайних двух, равных 1, получается как сумма соответствующих коэффициентов из предыдущей строки. Приведем некоторые свойства разложения бинома, т.е. правой части формулы (1). 1. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома и равно .

2. Сумма всех показателей степени и каждого члена разложения равна показателю степени бинома, так как .

3. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой, так как для любого справедливо равенство . Это свойство называется правилом симметрии.

Пример.Найти наибольший член разложения .

Решение. Рассмотрим отношение к . В данном случае поскольку непосредственно используется номер члена разложения. Тогда .

Если , то , а если , . Так как при (члены возрастают), а при (члены убывают), то наибольший член .

Полиномиальная формула

Ответ на вопрос, как раскрывать скобки при вычислении выражения дает следующая теорема, которая носит название полиномиальной теоремы.

Теорема.Выражение равно сумме всех возможных слагаемых вида

,

где , т.е. имеет место формула

. (5)

Коэффициенты иначе называются полиномиальными коэффициентами и обозначаются , т.е.

.

Доказательство. Для доказательства утверждения теоремы для всех натуральных значений , как и в случае доказательства формулы бинома Ньютона, воспользуемся методом математической индукции.

При получаем. Так как , то правая часть полиномиальной формулы представляет сумму слагаемых, в которых поочередно одно , а остальные равны 0, т.е.

.

Соответственно, и левая часть . Следовательно, при формула (5) верна.

Предположим, что формула (5) верна при , т.е. имеет место равенство

Докажем теперь, что, что формула (5) верна при , т.е.

.

Для этого представим в виде произведения и для множителя воспользуемся предположением индукции. Тогда, получим

После приведения подобных в этом выражении, получим сумму слагаемых вида , где , коэффициенты при которых – результат суммирования членов

.

Следовательно, имеет место равенство

В силу метода математической индукции отсюда вытекает справедливость формулы (5) для всех . Теорема доказана.

Замечание. Следует отметить, что формула бинома Ньютона – частный случай полиномиальной формулы при , т.е. и

Ответим на вопрос о количестве неподобных членов в правой части формулы (5). Для этого выясним, какой еще имеют смысл числа , кроме того, что они являются полиномиальными коэффициентами.

Рассмотрим элементов . Пусть для начала рассуждений они все различны. Будем из этих элементов составлять различные произведения, в которых присутствуют все элементы и никакое из них не повторяется. Различаются произведения только порядком следования элементов. Так на первую позицию можно поместить любой из элементов , на вторую уже любой из элементов, а различных вариантов для заполнения первых двух позиций получается . Далее аналогично, на третью – любой из элементов, а различных вариантов для заполнения первых трех позиций получается , и т.д. Окончательно получаем, что общее число произведений из элементов равно , т.е. . Говорят, что дает общее число перестановок из различных элементов . Пусть теперь имеется различных элементов и из них составлено произведение из элементов, где может быть, как больше, так и меньше . Будем считать, что в произведении содержится раз, содержится раз, и т.д., причем . Учтем, что в произведений из элементов имеются одинаковые.

Так выберем из произведений произвольное произведение элементов. В позициях находятся элементы (считая первоначально их элементами , их можно переставить способами), в позициях – элементы (считая их элементами , их можно переставить способами) и т.д..

Поскольку, в действительности, отмеченные внутри каждой указанной группы элементы неразличимы, то получается, что всего произвольно выбранному произведению из элементов соответствует таких же.

Следовательно, общее число различных произведений, имеющих после группировки одинаковых множителей вид , равно .

Говорят, что дает общее число перестановок с повторениями элементов из видов элементов.

Общее число членов в разложении равно количеству способов представления числа в виде суммы целых неотрицательных слагаемых , т.е. .

Представим как единиц разбитых на групп, причем группа может и не содержать единиц, для этого между группами поставим нули (всего получится нулей). Тогда каждому разложению в виде суммы слагаемых будет соответствовать набор из и нулей, т.е.

(и наоборот каждому такому набору – разложение).

Всего таких наборов .

Так разложение содержит неподобных членов, а содержит членов и

Разложение содержит уже и становится достаточно сложно выписать все его члены.

Задачи для решения в классе

1. Найти сумму биномиальных коэффициентов, если известно, что степень бинома равна 9. (Ответ. ).

2. Найти сумму биномиальных коэффициентов, если известно, что биномиальный коэффициент третьего члена равен 45. (Ответ. )

3. Найти член разложения , не содержащий . (Ответ. ).

4. Найти член разложения , содержащий . (Ответ. ).

5. Найти наибольший члена разложения . (Ответ. ).

6. При каких положительных значениях наибольшим слагаемым в разложении является шестой член разложения? (Ответ. ).

7. Найти члены разложения, не содержащие иррациональности в разложении . (Ответ. .)

8. Сколько рациональных членов содержится в разложении . (Ответ. .)

9. Найти 5-й член разложения бинома , если известно, что биномиальный коэффициент его четвертого члена относится к биномиальному коэффициенту его третьего члена, как . (Ответ. .)

Решить уравнения:

10. (). 11. ().

Решить неравенства:

12. ().

13. ().

10 (для учащихся 11-го класса). Доказать, что справедливо равенство .

11 (для учащихся 11-го класса). Доказать равенство

.

Задачи домашнего задания

1. Найти сумму биномиальных коэффициентов четных членов разложения, если известно, что степень бинома равна 11. (Ответ. ).

2. Найти сумму биномиальных коэффициентов, если известно, что биномиальный коэффициент третьего от конца члена равен 45. (Ответ. )

3. Найти номер члена разложения , не содержащего . (Ответ. ).

4. Найти биномиальный коэффициент члена разложения , не содержащего . (Ответ. ).

5. Найти наибольший члена разложения . (Ответ. ).

6. Найти наибольший члена разложения . (Ответ. ).

Решить уравнения:

7. (). 8. .

Решить неравенства:

9. (). 10. ().

10 (для учащихся 11-го класса). Доказать равенство

.

Рекомендуемая литература.

1. Ежов И.И., Скороходов А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики. Перев. с укр. – М.: «Наука», 1977, – 80 стр.

2. Болтянский В.Г., Савин А.П. Беседы по математике. Книга 1. Дискретные объекты. – М.: ФИМА, МЦНМО, 2002, – 368 стр.

3. Олимпиады, алгебра, комбинаторика / Под ред Л.Я. Савельева. – Новосибирск: «Наука», 1979, – 178 стр.

3. Цыпкин А.Г., Пинский А.Н. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 576 стр.

Источник: http://birmaga.ru/dosta/%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%E2%84%964.%20%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%20%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0.%20%D0%92%20%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC%20%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%20%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B%20%D1%81%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D1%83%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F:%20%D0%B8a/main.html

Бином Ньютона – формула, доказательство и примеры решения

Формула разложения бинома

Частные случаи утверждений о биномах были известны примерно с IV века до нашей эры, когда знаменитый греческий математик Евклид упомянул особый случай такой теоремы для показателя 2.

Существует доказательство того, что подобие теоремы о биномах для кубов было известно уже в VI веке в Индии.

Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие число способов выбора k объектов из n без замены, представляли интерес для древнеиндийских математиков.

Самое раннее упоминание этой комбинаторной проблемы встречается у индийского математика Пингала (ок. 200 г. до н. э.). В нём, кстати, содержится и метод её решения. В X веке нашей эры эту теорию прокомментировал и расширил Халаюдх, используя метод, который сейчас известен как треугольник Паскаля.

К VI веку н. э. индийские математики, вероятно, знали способ выразить общее правило, как частное, и выражали это примерно в таком виде: n! / (n – k)!k!.

Чёткое его изложение можно найти в тексте XII века, автор которого — Бхаскар.

Насколько известно, первая формулировка биноминальной теоремы и соответствующая таблица коэффициентов найдена в работе Аль-Караджи, которая цитируется Аль-Самавалем в его трудах.

Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов, а также представил доказательство как теоремы о биноме, так и правила треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции. Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с формулой более высокого порядка, хотя многие из его математических работ не дошли до современных учёных.

Биноминальные разложения малых степеней были известны в математических работах XIII века Ян Хуэя и Чу Ши-Цзе. Ян Хуэй ссылается на более ранний текст Цзя Сяня, написанный в XI в., однако и эти записи в настоящее время также утрачены.

В 1544 году Майкл Стифель ввёл термин «биномиальный коэффициент» и показал, как его использовать для выражения (1 + a)n с точки зрения (1 + a)n – 1 через «треугольник Паскаля». Блез Паскаль всесторонне изучил треугольник в трактате «Traité du triangle arithmétique» (1653).

Надо сказать, что структура чисел уже была известна европейским математикам позднего ренессанса, включая:

  • Стифеля.
  • Никколо Фонтана Тарталья.
  • Симона Стевина.

К слову, Исааку Ньютону обычно приписывают обобщённую теорему о биномах, справедливую для любого рационального показателя.

Утверждение теоремы

Согласно теореме, можно разложить любую степень x + y в сумму вида (x + y)n = (nₒ) x n y 0 + (n1) x n – 1 y 1 + (n2) x n – 2 y 2 + ··· + (n n – 1) x1y n – 1 + (n n) x1y n – 1+ (n n) x0 y n , где каждый (nk) является положительным целым числом, известным как коэффициент бинома.

Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение степени принимается равным 1 и этот мультипликативный фактор часто исключается из формулы. Нередко можно видеть правую сторону уравнения, записанную в виде (nₒ) x n + ···. Эта формула также называется биноминальным тождеством.

Наиболее простой пример формулы бинома Ньютона — решение для квадрата из х + у, например, (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. Биномиальные коэффициенты 1, 2, 1, фигурирующие в этом расширении, соответствуют второму ряду треугольника Паскаля. Следует обратить внимание на общепринятые нормы, где верхняя «1» треугольника считается строкой 0.

Коэффициенты более высоких степеней x + y соответствуют нижним строкам паскалевского треугольника. Из расчётов можно наблюдать несколько закономерностей. В общем случае для разложения (x + y) n:

  • степени x уменьшаются на 1 в каждом члене, начинаясь с n до достижения 0 (при x 0 , равном 1);
  • y начинаются с 0 и увеличиваются на 1 (пока не достигнут n степени);
  • число слагаемых в разложении перед объединением одинаковых слагаемых является суммой коэффициентов и равно 2n;
  • после объединения одинаковых слагаемых в разложении получится n + 1.

Теорема может быть применена к степеням любого бинома.

С точки зрения геометрии

Для положительных значений a и b теорема с n = 2 является геометрически очевидным фактом.

Это значит, что квадрат стороны a + b может быть разделён: на квадрат стороны a и b, на два прямоугольника со сторонами a и b.

При n = 3 теорема утверждает, что из куба со стороной a + b можно получить: два куба со сторонами a и b, соответственно, три прямоугольника a × a × b и столько же a × b × b.

В исчислении геометрическое доказательство бинома Ньютона выглядит следующим образом: (x n)′ = nx n-1.

Если установить a = x, b = ∆x, интерпретируя b как бесконечно малое изменение в a, то вырисовывается следующая картина: бесконечно малое изменение объёма n-мерного гиперкуба (x + ∆x) n, где коэффициент линейного члена (в ∆x ) является nx n-1, площадь n граней, каждое из измерений (n – 1), (x + ∆x) n = x n + nx n-1 ∆x + (n2)x n-2 (∆x) 2 + ··· .

Подстановка этого уравнения в определение производной через разность и принятие пределов означает, что члены более высокого порядка, (∆x) 2 и выше, становятся незначительными, и даёт формулу (x n)′ = nx n-1. Всё это интерпретируется как «бесконечно малая скорость изменения объёма n-куба, при изменении длины его стороны, равна площади n (n – 1)».

Биномиальные коэффициенты появляются в разложении бинома Ньютона. Обычно их записывают как (n k) и интерпретируют, как количество способов выбора k элементов из n строки треугольника Паскаля. Коэффициент x n – k y k находят по формуле: (n k) = n! / k! (n-k)!, которая определяется в терминах факториальной функции n!.

Доказательств теоремы несколько. Для примера можно рассмотреть комбинаторное. Его алгоритм — один из самых простых. Коэффициент xy 2 в (x + y) 3 равен:

  • (x + y) (x + y) (x + y);
  • xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy;
  • x2 + 3×2 y + 3xy2 + y3 равняется (3 2) = 3.

Вычисления выглядят так, потому что есть три x и y строки, а именно: xyy, yxy, yyx. Они соответствуют трём двухэлементным подмножествам {1, 2, 3}, а конкретно: {2,3}, {1,3}, {1,2}, где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке треугольника.

Или, например, общий случай. Расширение (x + y) n дает сумму 2 n произведений вида e1 e2 … en, где каждый ei равен x или y. Коэффициенты перестановки показывают, что каждый продукт равен x n – k y k для некоторого k между 0 и n. Для заданного k следующие значения равны по порядку:

  • количество копий x n – k y k в расширении;
  • количество n-символов x, y строк, имеющих y ровно в k позициях;
  • количество k-элементных подмножеств {1, 2, …, n}.

Доказывают биномиальную теорему либо по определению, либо по короткому комбинаторному аргументу, если (n k) представлено как n! / k! (n-k)!.

Биномные обобщения

Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил свою теорему, касающуюся бинома. Сделал он это для того, чтобы разрешить вещественные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел.

В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом.

Чтобы сделать это, нужно придать смысл коэффициентам бинома с произвольным верхним индексом, что невозможно сделать с помощью обычной формулы с факториалами.

Однако для произвольного числа r можно вычислить (r k) = r(r – 1) ··· (r – k + 1) / k! = (r)k / k!, где (·) k является символом Похгаммера, который здесь означает падающий факториал. Это согласуется с обычными определениями.

Когда r – неотрицательное целое число, биномиальные коэффициенты при k > r равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, где существует не более r + 1 ненулевых членов.

Для других значений r ряд обычно имеет бесконечно много ненулевых членов.

Обобщения можно распространить на случай, когда x и y – комплексные числа. Для этой версии следует снова принять | х | > | у | и определить степени x + y и x, используя голоморфную ветвь логарифма, определённую на открытом диске радиуса | х | с центром в х. Обобщённая теорема бинома справедлива и для элементов х и у в банаховой алгебре, пока х = ух, х является обратимым, а || у / х ||

Источник: https://nauka.club/matematika/binom-nyutona.html

Формула бинома Ньютона

Формула разложения бинома

Выведемформулу, позволяющую возводить двучлен(бином) (а+b)в любую целую неотрицательную сте­пень.Это формула бинома Ньютона. Она имеетследующий вид:

.

Докажемданную формулу методом математическойиндукции по n,где n≥0. 

  1. Формула верна при n = 0, 1, 2. В самом деле,

;

;;

  1. Пусть формула верна при n = k. Докажем ее при n = k + 1.

.

Раскрывскобки и сгруппировав слагаемые постепеням а,получим:

.

Сучетом свойства 4 и того, что  и ,имеем:

Итак, индукциязавершена, значит истинность формулыдоказана.

Вформуле бинома Ньютона для (а + b)nсумма степеней аи bв каждом слагаемом равна n.Числа  называютсябиномиаль­ными коэффициентами. Привычислении биномиальных коэффициен­товудобно применять треугольник Паскаля.

Вкачестве примера найдем:  а) (a+ b)5;  б) (х2-1)4:

а)

;

б)

Легкоубедиться, что хорошо известные формулысокращенного ум­ножениядля (a+ b)2и (a+ b)3представляют собой частные случаифор­мулыбинома Ньютона.

Упражнения

            а) ;

            б) ;

            в) .

  1. Напишите разложение по формуле бинома Ньютона и упростите при необходимости:

 а)(a + b)4;  б)(a ― b)4;  в)(a + 2b)5;  г)(a – 2b)5;

 д)(1 + 2x)5; е) ; ж) ;  з) ;

 и) ; к) ; л) ; м) ;

 н) ;  о) ;  п) ;

ж) ;  з) ;   и) ;

 к) ; л) ;  м) ;

а)шестой член разложения (1 ― 2z)21;

б)шестой член разложения   ;

в)пятыйчлен разложения ;

г)пятыйчлен разложения ;

д)двасредних члена разложения (a3-ab)23;

е)в разложении  член,не содержащий x;

ж)в разложении  член,не содержащий z;

з)в разложении    коэффициентпри а8;

и)в разложении   коэффициентпри х4;

к)x,если третий член разложения (х+xlgx)5равен 106.

Самостоятельная работа по теме «Множества и элементы комбинаторики»

  1. В конкурсе красоты участвуют 20 девушек. Сколько может быть вариантов распределения пяти призовых мест в этом конкурсе?

  1. Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом?

а)шестой член разложения бинома ;

б)два средних члена разложения бинома .

  1. Записать разложение бинома .

  1. В селении проживают 2000 жителей. Доказать, что по крайней мере двое имеют одинаковые инициалы.

Соответствия и отношения

Основныезнания, умения и навыки,которыми должны овладеть студенты впроцессе изучения этой темы:

  • понимать смысл неопределяемых понятий «соответствие», «отношение»;
  • знать свойства соответствий и отношений, уметь их определять и приводить конкретные примеры;
  • знать основные типы соответствий и отношений.

Основныепонятия темы:соответствие, отношение.

Пустьданы два произвольных множества Aи B.

Оп р е д е л е н и е 1. Декартовым(прямым) произведением множествА и В называют множество, состоящее извсех упорядоченных пар вида ,где и .

Символически этомножество записывают так:

,

Пр и м е р 1: Если А={1, 2, 3}, а В={0, 4}, то

;

.

Видим,что в общем случае .

Пустьданы два произвольных множества X,Y.

        Тройкамножеств ,где ,будем называть бинарным соответствиеммежду множеством Xи Y,множество A― его графиком, множество X― областью отправления, Y― областью прибытия.

Если,то говорят, что элемент xнаходитсяс элементом yвсоответствии fи пишут xfy,тоесть .

За м е ч а н и е: Часто понятие бинарногосоответствия определяют как любоеподмножество А множества ,то есть отождествляют его с графикомсоответствия.

Множествоназывают областью определения соответствияf.

Множествоназывают областью значения соответствияf.

Пр и м е р 1. Пусть ,.Тогда тройка множеств ,где  и будетзадавать соответствие между множествамиRи R,графиком которого будет парабола.D(f)=R,E(f)=R+..

Пр и м е р 2: Пусть,. .,. График  этого   соответствия  пред­ставляетсобой полуплоскость.

Множествоназывают полнымобразом элементаxпри соответствии f

Множествоназываютполнымпрообразомэлемента упри соответствии f.

Изопределения и следует, что .

Пр и м е р 3: Пусть X― множество студентов в аудитории, У― множе­ствостолов, за которым они сидят. Зададимсоответствие хfу«студент xсидитза столом y».Тогда:

  1. Областью отправления этого соответствия будет множество всех студентов в аудитории;

  2. Областью определения ― множество студентов, которые сидят за столами;

  3. Областью прибытия ― множество столов в аудитории.

  4. Областью значений ― множество столов, за которыми  сидит хотя бы один студент;

  5. Графиком соответствия будет множество пар «студент- стол»

  6. Полным прообразом студента х будет стол, за которым он сидит;

  7. Полным прообразом стола у будут все студенты, которые за ним сидят.

Пр и м е р 4:

Этотрисунок задает соответствие междумножествами:

и

Графикэтого соответствия . ,, ,,,,,. 

Израссмотренных выше примеров видно, чтосоответствие может бытьзадано:

а)путемуказания подмножества (графически);

б)аналитически;хfу  у= f(х);

в)спомощью графов или таблиц.

Графомназывают множество точек, некоторыепары из которых соединенылиниями с направлениями (см. пример 4).

Источник: https://studfile.net/preview/5246547/page:10/

Бином Ньютона

Формула разложения бинома

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b)n, где a + b есть любой бином, а n – целое число.

Каждое выражение – это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до “половины пути”, а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b)6. Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членов
a6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.

Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, ci? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля:
Есть много особенностей в треугольнике.

Найдите столько, сколько сможете.

Возможно вы нашли путь, как записать следующую строку чисел, используя числа в строке выше. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа.

Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b)6 путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли:

Мы видим, что в последней строке

первой и последнее числа 1;
второе число равно 1 + 5, или 6;
третье число это 5 + 10, или 15;
четвертое число это 10 + 10, или 20;
пятое число это 10 + 5, или 15; и
шестое число это 5 + 1, или 6.

Таким образом, выражение (a + b)6 будет равно
(a + b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6.

Для того, чтобы возвести в степень (a + b)8, мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля:
Тогда

(a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n,
(a + b)n = c0anb0 + c1an-1b1 + c2an-2b2 + …. + cn-1a1bn-1 + cna0bn,
где числа c0, c1, c2,…., cn-1, cn взяты с (n + 1) ряда треугольника Паскаля.

Пример 1 Возведите в степень: (u – v)5.

Решение У нас есть (a + b)n, где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:1          5          10          10          5          1Тогда у нас есть

(u – v)5 = [u + (-v)]5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u)(-v)4 + 1(-v)5 = u5 – 5u4v + 10u3v2 – 10u2v3 + 5uv4 – v5.

Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.

Пример 2 Возведите в степень: (2t + 3/t)4.

Решение У нас есть (a + b)n, где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:1          4          6          4          1Тогда мы имеем

Разложение бинома используя значения факториала

Предположим, что мы хотим найти значение (a + b)11. Недостаток в использовании треугольника Паскаля в том, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить необходимый ряд. Следующий метод позволяет избежать этого.

Он также позволяет найти определенную строку – скажем, 8-ю строку – без вычисления всех других строк. Этот метод полезен в вычислениях, статистике и он использует биномиальное обозначение коэффициента .

Мы можем сформулировать бином Ньютона следующим образом.

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,
.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему называется биноминальным коэффициентом.

Пример 3 Возведите в степень: (x2 – 2y)5.

Решение У нас есть (a + b)n, где a = x2, b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем

Наконец, (x2 – 2y)5 = x10 – 10x8y + 40x6y2 – 80x4y3 + 80x2y4 – 35y5.

Пример 4 Возведите в степень: (2/x + 3√x)4.

Решение У нас есть (a + b)n, где a = 2/x, b = 3√x, и n = 4. Тогда, используя бином Ньютона, мы получим

Finally (2/x + 3√x)4 = 16/x4 + 96/x5/2 + 216/x + 216×1/2 + 81×2.

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона дает нам 1-й член, дает нам 2-й член, дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b)n есть .

Пример 5 Найдите 5-й член в выражении (2x – 5y)6.

Решение Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет

Пример 6 Найдите 8-й член в выражении (3x – 2)10.

Решение Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет

Общее число подмножеств

Предположим, что множество имеет n объектов. Число подмножеств, содержащих k элементов есть .

Общее число подмножеств множества есть число подмножеств с 0 элементами, а также число подмножеств с 1 элементом, а также число подмножеств с 2-мя элементами и так далее. Общее число подмножеств множества с n элементами есть
.

Теперь давайте рассмотрим возведение в степень (1 + 1)n:
.
Так. общее количество подмножеств (1 + 1)n, или 2n. Мы доказали следующее.

Полное число подмножеств

Полное число подмножеств множества с n элементами равно 2n.

Пример 7 Сколько подмножеств имеет множество {A, B, C, D, E}?

Решение Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 25, или 32.

Пример 8 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:
{кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр}.
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно

. Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/veroiatnosti/binominalnaya-teorema/binominalnaya-teorema.html

Вывод формулы бинома Ньютона и доказательство

Все мы помним наизусть формулы разложения квадрата суммы и куба, для тех, кто всё же имеет какие-то сомнения, ниже мы привели их:

$(a + x)2 = a2 + 2ax + x2$ и $(a + x)3 = a3 + 3a2x + 3ax2 + x3$.

Эти формулы есть не что иное, как частные случаи второй и третьей степени для бинома Ньютона.

Рассмотрим теперь формулу для общего случая, то есть когда $(a+x)n$. При умножении выражения $(a + x)$ на само себя $n$ раз мы будем иметь дело с многочленом $n$-ой степени, если рассматривать всё выражение относительно $x$, имеем следующее:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

$(a + x)n = A_0 + A_1x + A_2x2 + A_3x3 + … +A_nxn \left(1\right)$

Теперь необходимо найти коэффициенты $A_0, A_1, A_2…A_n$. Для нулевого коэффициента необходимо подставить в обе части $x=0$, получим, что $A_0= an$.

Теперь необходимо найти $A_1$, для этого продифференцируем равенство $(1)$, сначала его левую часть:

$((a + x)n)’ = n(a + x){n-1}(a + x)’ = n \cdot (a+ x){n-1}$

А теперь правую:

$(A_0 + A_1x + A_2x2 + A_3x3 + … +A_nxn)’ = A_1 + 2A_2x + 3A_3x2 + … +nA_n \cdot x{n-1}$

Приравняем их друг к другу и получим равенство $(3)$, затем подставим в $(3)$ нулевое значение вместо икса и из полученного равенства выражаем $A_1$ в выражении $(4)$:

$n \cdot (a+ x){n-1} = A_1 + 2A_2x + 3A_3x2 + … +nA_n \cdot x{n-1}\left(3\right)$

$na{n-1}= A_1, A_1 = \frac{na{n-1}}{1}\left(4\right)$

Для того чтобы найти $A_2$, продифференцируем $(3)$ с обеих сторон и также подставим вместо $x$ нулевое значение:

$n(n-1)(a+x){n-2} = 2A_2 + 3 \cdot 2 \cdot A_3x + …+n(n-1)A_nx{n-2}$,

$n(n-1)a{n-2} =2A_2$, следовательно,

$A_2 = \frac{n(n-1)a{n-2}}{1 \cdot 2}\left(5\right)$

Взяв производную от выражения $(1)$ $k$-раз, имеем следующее:

$n(n-1) \cdot … \cdot (n-k + 1)(a + x){n-k} = k(k-1) \cdot … \cdot 2 \cdot 1 \cdot A_k + (k+1)k \cdot … \cdot 2A_{k+1}x + …+n(n-1) \cdot …\cdot (n-k+1)A_nx{n-k}$.

Снова используем в качестве значения $x$ нуль:

$n(n-1)\cdot … \cdot (n-k + 1)a{n-k}= 1 \cdot 2 \cdot … \cdot kA_k$

Выражаем из этого равенства $A_k$:

$A_k = \frac{n(n-1)(n-2) \cdot …\cdot (n-k+1)a{n-k}}{1 \cdot 2 \cdot…\cdot k}\left(6\right)$,

В этом выражении вся часть без множителя $a$ — это и есть выражение для вычисления $k$-ого биномиального коэффициента, вынесем её отдельно:

$Ck_n = \frac{n(n-1)(n-2) \cdot …\cdot(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot…\cdot k}\left(7\right)$

Полученное выражение используется для вычисления биномиальных коэффициентов.

Пример 1

Разложите выражение $(\frac{1}{b} + \sqrt{x})6$.

Сосчитаем биномиальные коэффициенты:

$С0_6 = 1, C1_6 = \frac{6}{1} = 6, C2_6 = \frac{6 \cdot 5}{1 \cdot 2}, C3_6 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 20, C4_6 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 15, C5_6 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}= 6, C6_6=1$

Теперь воспользуемся вычисленными коэффициентами для разложения бинома Ньютона:

$(\frac{1}{b} + \sqrt{x})6 = (\frac{1}{b})6 + 6(\frac{1}{b})5 \sqrt{x} + 15 (\frac{1}{b})4 (\sqrt{x})2 + 20 (\frac{1}{b})3 (\sqrt{x})3 + 15 (\frac{1}{b})2 (\sqrt{x})4 + 6 (\frac{1}{b}) (\sqrt{x})5 + (\sqrt{x})6 = \frac{1}{b6 } + \frac{6\sqrt{x}}{b5} + \frac{15x}{b4} + \frac{20x\sqrt{x}}{b3} + \frac{15×2}{b2} + \frac{6×2\sqrt{x}}{b} + x3$

Бином Ньютона: треугольник Паскаля

Как вы уже заметили, биномиальные коэффициенты имеют свойство повторяться, поэтому все их можно записать в виде специальной таблицы, называемой треугольником Паскаля:

Рисунок 1. Бином Ньютона: треугольник Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

По рисунку 1 видно, что каждый коэффициент равен сумме двух стоящих слева и справа над ним в предыдущей строчке, так что этой таблицей можно пользоваться для более быстрого вычисления биномиальных коэффициентов в случае показателей степеней, представленных целыми неотрицательными числами.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/binom_nyutona/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.