Формула пуассона и закон распределения пуассона. Распределение Пуассона. Дискретные распределения в MS EXCEL

Что такое распределение Пуассона?

Формула пуассона и закон распределения пуассона. Распределение Пуассона. Дискретные распределения в MS EXCEL

Прежде чем вводить параметр λ и подставлять его в формулу, давайте задумаемся: почему Пуассону вообще пришлось изобретать такое распределение?

1. Почему Пуассон изобрел свое распределение?

Чтобы предсказывать количествобудущихсобытий!

Или более формально: чтобы предсказывать вероятность данного числа событий, происходящих в определенный интервал времени.

В продажах, например, “событие” это покупка (сам момент покупки, не просто выбор). Событием может быть количество посетителей в день на веб-сайте, кликов на рекламном объявлении в следующем месяце, число звонков в рабочее время или число людей, которые умрут от смертельных заболеваний в следующем году, и так далее.

Вот пример, как я использую распределение Пуассона в реальной жизни.

Каждую неделю в среднем 17 человек оставляют лайк под моим постом в блоге. Я хочу предсказать количество лайков на следующей неделе, потому что мои еженедельные выплаты зависят от этого количества. Какова вероятность того, что точно 20 человек (или 10, 30, 50 и так далее) поставят лайк под моим постом на следующей неделе?

2. Как решить эту задачу?

Давайте на время сделаем вид, что мы ничего не знаем о распределении Пуассона. Как тогда решить задачу?

Первый путь: начать с количества прочтений. Для каждого читателя блога есть вероятность, что статья ему действительно понравится и он поставит лайк.

Это классическая работа для биномиального распределения, так как мы рассчитываем количество успешных событий (лайков).

Биномиальная случайная величина — это количество успешных x в n повторяющихся попыток. Предполагается, что вероятность успеха p является постоянной в каждой попытке.

Итак, у нас есть только один параметр  — 17 человек в неделю, что является “средним значением” (средним значением успешных событий в неделею, или математическим ожиданием x). Нам ничего не известно ни о вероятности получения лайков p, ни о количестве посетителей блога n.

Значит, нам нужно больше информации для решения задачи. Что конкретно нужно, чтобы оформить эту вероятность как биномиальную проблему? Две вещи: вероятность успеха (лайков) p и количество попыток (посетителей) n.

Получим их из прошлых данных.

Это статистика за 1 год. Общее количество читателей блога — 59 тысяч, 888 из них поставили лайк. 

Следовательно, количество читателей в неделю (n): 59 000/52 = 1134. Количество поставивших лайк в неделю (x): 888/52 =17.

количество читателей в неделю (n) = 59000/52 = 1134 количество оставивших лайк в неделю (x) = 888/52 = 17 вероятность успеха (p) : 888/59000 = 0.015 = 1.5%

Используя биномиальную функцию вероятности, посчитаем вероятность того, что я получу точно 20 успешных событий (20 лайков) на следующей неделе.

╔══════╦═══════════════════╗║ x ║ Binomial P(X=x) ║╠══════╬═══════════════════╣║ 10 ║ 0.02250 ║║ 17 ║ 0.09701 ║

Источник: https://nuancesprog.ru/p/4689/

Распределение Пуассона. Дискретные распределения в MS EXCEL

Формула пуассона и закон распределения пуассона. Распределение Пуассона. Дискретные распределения в MS EXCEL

Рассмотрим распределение Пуассона, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ПУАССОН.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Произведем оценку параметра распределения, его математического ожидания и стандартного отклонения.

Сначала дадим сухое формальное определение распределения, затем приведем примеры ситуаций, когда распределение Пуассона (англ. Poisson distribution) является адекватной моделью для описания случайной величины.

Если случайные события происходят в заданный период времени (или в определенном объеме вещества) со средней частотой λ(лямбда), то число событий x, произошедших за этот период времени, будет иметь распределение Пуассона.

Плотность вероятности распределения Пуассона задается следующей формулой:

λ – единственный параметр распределения Пуассона.

СОВЕТ: подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL.

Применение распределения Пуассона

Примеры, когда Распределение Пуассона является адекватной моделью:

  • число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определенный период времени;
  • число частиц, подвергнувшихся радиоактивному распаду за определенный период времени;
  • число дефектов в куске ткани фиксированной длины.

Распределение Пуассона является адекватной моделью, если выполняются следующие условия:

  • события происходят независимо друг от друга, т.е. вероятность последующего события не зависит от предыдущего;
  • средняя частота событий постоянна. Как следствие, вероятность события пропорциональна длине интервала наблюдения;
  • два события не могут произойти одновременно;
  • число событий должно принимать значения 0; 1; 2…

Примечание: Хорошей подсказкой, что наблюдаемая случайная величина имеет распределение Пуассона, является тот факт, что среднее значение выборки приблизительно равно дисперсии (см. ниже).

Ниже представлены примеры ситуаций, когда Распределение Пуассона не может быть применено:

  • число студентов, которые выходят из университета в течение часа (т.к. средний поток студентов не постоянен: во время занятий студентов мало, а в перерыве между занятиями число студентов резко возрастает);
  • число землетрясений амплитудой 5 баллов в год в Калифорнии (т.к. одно землетрясение может вызвать повторные толчки сходной амплитуды – события не независимы);
  • число дней, которые пациенты проводят в отделении интенсивной терапии (т.к. число дней, которое пациенты проводят в отделении интенсивной терапии всегда больше 0).

Примечание: Распределение Пуассона является приближением более точных дискретных распределений: Гипергеометрического и Биномиального.

Примечание: О взаимосвязи распределения Пуассона и Биномиального распределения можно прочитать в статье Взаимосвязь некоторых распределений в MS EXCEL. О взаимосвязи распределения Пуассона и Экспоненциального распределения можно прочитать в статье про Экспоненциальное распределение.

Распределение Пуассона в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Распределения Пуассона имеется функция ПУАССОН.РАСП(), английское название – POISSON.

DIST(), которая позволяет вычислить не только вероятность того, что за заданный период времени произойдет х событий (функцию плотности вероятности p(x), см.

формулу выше), но и интегральную функцию распределения (вероятность того, что за заданный период времени произойдет не меньше x событий).

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ПУАССОН(), которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности p(x). ПУАССОН() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения.

Распределение Пуассона имеет скошенную форму (длинный хвост справа у функции вероятности), но при увеличении параметра λ становится все более симметричным.

Примечание: Для построения интегральной функции распределения идеально подходит диаграмма типа График, для плотности распределения – Гистограмма с группировкой. Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм.

Примечание: Среднее и дисперсия (квадрат стандартного отклонения) равны параметру распределения Пуассона – λ (см. файл примера лист Пример).

Задача

Типичным применением Распределения Пуассона в контроле качества является модель количества дефектов, которые могут появиться в приборе или устройстве.

Например, при среднем количестве дефектов в микросхеме λ (лямбда) равном 4, вероятность, что случайно выбранная микросхема будет иметь 2 или меньше дефектов, равна: =ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА)=0,2381

Третий параметр в функции установлен = ИСТИНА, поэтому функция вернет интегральную функцию распределения, то есть вероятность того, что число случайных событий окажется в диапазоне от 0 до 4 включительно.

Вычисления в этом случае производятся по формуле:

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь ровно 2 дефекта, равна: =ПУАССОН.РАСП(2;4;ЛОЖЬ)=0,1465

Третий параметр в функции установлен = ЛОЖЬ, поэтому функция вернет плотность вероятности.

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь больше 2-х дефектов, равна: =1-ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА) =0,8535

Примечание: Если x не является целым числом, то при вычислении формулы дробная часть числа отбрасывается. Формулы =ПУАССОН.РАСП(2; 4; ЛОЖЬ) и =ПУАССОН.РАСП(2,9; 4; ЛОЖЬ) вернут одинаковый результат.

Генерация случайных чисел и оценка λ

С помощью надстройки Пакет анализа можно сгенерировать случайные числа, извлеченные из распределения Пуассона.

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с параметром λ=5. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие параметры:

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно оценить параметр λ для каждого массива с помощью функции СРЗНАЧ(), см. файл примера лист Генерация.

Связь Распределения Пуассона с Биномиальным и Нормальным распределением

Распределение Пуассона является предельным случаем Биномиального распределения, при условии, если параметр n Биномиального распределения стремится к бесконечности, а p – к 0.

Можно сформулировать условия, когда приближение распределением Пуассона работает хорошо:

  • p0,9 (учитывая, что q=1-p, вычисления в этом случае необходимо производить через q (а х нужно заменить на n-x). Следовательно, чем меньше q и больше n, тем приближение точнее).

Примечание: Если 0,115, Распределение Пуассона хорошо аппроксимируется Нормальным распределением со следующими параметрами: μ=λ, σ2=λ.

Подробнее о связи этих распределений, можно прочитать в статье Взаимосвязь некоторых распределений в MS EXCEL. Там же приведены примеры аппроксимации, и пояснены условия, когда она возможна и с какой точностью.

СОВЕТ: О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL.

Источник: https://excel2.ru/articles/raspredelenie-puassona-diskretnye-raspredeleniya-v-ms-excel

3. Распределение Пуассона дискретных случайных величин

Формула пуассона и закон распределения пуассона. Распределение Пуассона. Дискретные распределения в MS EXCEL

Дискретнаяслучайная величина распределена позакону Пуассона, если она принимаетзначения 0,1,2…mn…,бесконечное, но счетное число раз, свероятностями, определяемыми по формулеПуассона:

где,p.

Законраспределения примет вид:

012m

,

ит.д.

Теорема.Математическоеожидание и дисперсия случайной величины,распределенной по закону Пуассона, равны параметру Пуассона.

Пример1.

Станокизготавливает за смену 100000 деталей.Вероятность изготовления бракованнойдетали p= 0,0001.

Найтивероятность того, что за смену будетизготовлено 5 бракованных деталей.

Решение:

Обозначим n= 100 000,k= 5, p= 0,0001. События, состоящие в том, чтоотдельная деталь бракована, независимы,число испытаний nвелико, а вероятность pмала, поэтому воспользуемся распределениемПуассона:

где

Пример2.

Устройствосостоит из 1000 элементов. Вероятностьотказа любого элемента в течение времениt равна 0,002.

Найтиматематическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонениеимоду.

Решение:

X‒ случайная величина ‒ число отказавшихза время tэлементов.

,.Следовательно, случайная величинараспределена по закону Пуассона.

элемента

Составимзакон распределения Пуассона:

0123m
0,1353350,2706710,2706710,180447

ит.д.

9. Непрерывная случайная величина. Функция распределения. Плотность вероятности. Вероятность попадания в заданный интервал

Непрерывнойслучайной величинойназывают случайную величину, значениякоторой сплошь заполняют некоторыйинтервал.

Например,рост человека ‒ непрерывная случайнаявеличина.

Функциейраспределения случайной величины называют вероятность того, что случайнаявеличина Хпринимает значения, меньшие х.

F(x)= P(X

Геометрически,формула F(x)= P(Xозначает,что все значения Хбудут находиться, левее х.Функция F(x)называется интегральной функцией.

Плотностьювероятности непрерывнойслучайной величины f(x)называется производная от функциираспределения этой случайной величины:

Следовательно, F(x)первообразная для f(x).

Теорема.Вероятность попадания непрерывнойслучайной величины Xв интервал от aдо bнаходится по формуле:

Доказательство.

Следствие.Если все возможные значения случайной величины

10. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

1.Математическое ожидание:

2.Дисперсия:

Преобразуемэту формулу:

‒формуладисперсии для непрерывных случайныхвеличин.

Тогдасреднее квадратическое отклонение:

1.Нормальный закон распределения

Извсех законов распределения для непрерывныхслучайных величин на практике чащевсего встречается нормальныйзаконраспределения. Этот закон распределенияявляется предельным, то есть все остальныераспределения стремятся к нормальному.

Теорема1. Непрерывнаяслучайная величина распределена понормальномузакону спараметрами аи ,еслиплотность вероятности имеет вид:

Математическоеожидание случайной величины, распределённойпо нормальному закону распределения,равно а,то естьдисперсия.

Теорема2. Вероятностьпопадания непрерывной случайнойвеличины, распределенной по нормальномузакону распределения в интервал от αдо β,находится по формуле:

Пример.

Полагая,что рост мужчин определенной возрастнойгруппы есть нормально распределеннаяслучайная величина  X, c параметрами а =173 и =36.

Найти:а)выражение плотности вероятностей ифункции распределения случайнойвеличины X;

б)долю костюмов 4-го роста (176 – 182 см) вобщем объеме производства.

Решение:

Плотностьвероятности нормально распределеннойслучайной величины:

Долякостюмов 4-го роста (176 – 182 см.) в общемобъеме производства определяется поформуле как вероятность

0,2417100%24,2%‒ доля костюмов 4-го роста в общем объемепроизводства.

Итак,функция плотности вероятностейнормального закона распределения имеетвид:

Тогдафункция распределения:

Источник: https://studfile.net/preview/6055012/page:9/

Распределение Пуассона дискретной случайной величины

Формула пуассона и закон распределения пуассона. Распределение Пуассона. Дискретные распределения в MS EXCEL

Распределение Пуассона – случай биномиального распределения, когда число испытаний n достаточно большое, а вероятность p события A мала ().

Распределение Пуассона называют также распределением редких событий. Например, рождение за год трёх или четырёх близнецов, тот же закон распределения имеет число распавшихся в единицу времени атомов радиоактивного вещества и др.

Вероятность наступления редких событий вычисляется по формуле Пуассона:

,

где m число наступления события A;

– среднее значение распределения Пуассона;

e=2,7183 – основание натурального логарифма.

Закон Пуассона зависит от одного параметра – λ (лямбда), смысл которого в следующем: он является одновременно математическим ожиданием и дисперсией случаной величины, распределённой по закону Пуассона.

Рассмотрим условия, при которых возникает распределение Пуассона.

Во-первых, распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, когда число опытов n неограниченно увеличивается (стремится к бесконечности) и одновременно вероятность p успеха в одном опыте неограниченно уменьшается (стремится к нулю), но так, что их произведение np сохраняется в пределе постоянным и равным λ (лямбде):

.

В математическом анализе доказано, что распределение Пуассона с параметром λ = np можно приближенно применять вместо биномиального, когда число опытов n очень велико, а вероятность p очень мала, то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко.

Во-вторых, распределение Пуассона имеет место, когда есть поток событий, называемым простейшим (или стационарным пуассоновским потоком).

Потоком событий называют последовательность таких моментов, как поступление вызовов на коммуникационный узел, приходы посетителей в магазин, прибытие составов на сортировочную горку и тому подобных.

Пуассоновский поток обладает следующими свойствами:

  • стационарность: вероятность наступления m событий в определённый период времени постоянна и не зависит от начала отсчёта времени, а зависит только от длины участка времени;
  • ординарность: вероятность попадания на малый участок времени двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события;
  • отсутствие последствия: вероятность наступления m событий в определённый период времени не зависит от того, сколько событий наступило в предыдущий период.

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона:

математическое ожидание ;

стандартное отклонение ;

дисперсия .

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Распределение Пуассона и расчёты в MS Excel

Вероятность распределения Пуассона P(m) и значения интегральной функции F(m) можно вычислить при помощи функции MS Excel ПУАССОН.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

MS Excel требует ввести следующие данные:

  • x – число событий m;
  • среднее;
  • интегральная – логическое значение: 0 – если нужно вычислить вероятность P(m) и 1 – если вероятность F(m).

Решение примеров с распределением Пуассона

Пример 1. Менеджер телекоммуникационной компании решил рассчитать вероятность того, что в некотором небольшом городе в течении пяти минут поступят 0, 1, 2, … вызовов. Выбраны случайные интервалы в пять минут, подсчитано число вызовов в каждый их интервалов и рассчитано среднее число вызовов: .

Вычислить вероятность того, что в течении пяти минут поступят 6 вызовов.

Решение. По формуле Пуассона получаем:

Тот же результат получим, используя функцию MS Excel ПУАССОН.РАСП (значение интегральной величины – 0):

P(6) = ПУАССОН.РАСП(6; 4,8; 0) = 0,1398.

Вычислим вероятность того, что в течение пяти минут поступят не более 6 вызовов (значение интегральной величины – 1):

P(≤6) = ПУАССОН.РАСП(6; 4,8; 1) = 0,7908.

Решить пример самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Производитель отправил в некоторый город 1000 проверенных, то есть исправных телевизоров. Вероятность того, что при транспортировке телевизор выйдет из строя, равна 0,003. То есть в этом случае действует закон распределения Пуассона. Найти вероятность того, что из всех доставленных телевизоров неисправными будут: 1) два телевизора; 2) менее двух телевизоров.

Правильное решение и ответ.

Продолжаем решать примеры вместе

Пример 3. В центр звонков клиентов поступает поток звонков с интенсивностью 0,8 звонков в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты: а) не придёт ни одного звонка; б) придёт ровно один звонок; в) придёт хотя бы один звонок.

Решение. Случайная величина X – число звонков за 2 минуты с параметром – распределена по закону Пуассона. У нас есть всё, чтобы вычислить требуемые в условии задачи вероятности:

а) (так как 0! = 1).

б) .

в) .

Пример 4. Поток грузовых железнодорожных составов, прибывающих на сортировочную горку, имеет интенсивность 4 состава в час. Найти вероятности того, что за полчаса на горку прибудет: а) ровно один состав; б) хотя бы один состав; в) не менее трёх составов.

Решение. Случайная величина X – число составов за 0,5 часа с параметром – распределена по закону Пуассона. Вычисляем требуемые в условии задачи вероятности:

а) .

б) .

в) .

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

Начало темы “Теория вероятностей”

Действия над вероятностями Различные задачи на сложение и умножение вероятностей Формула полной вероятности Независимые испытания и формула Бернулли Распределение вероятностей дискретной случайной величины Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Биномиальное распределение дискретной случайной величины Равномерное распределение непрерывной случайной величины Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Источник: https://function-x.ru/probabilities_distribution_poisson.html

Распределение Пуассона

Формула пуассона и закон распределения пуассона. Распределение Пуассона. Дискретные распределения в MS EXCEL

Если у Вашего провайдера происходят обрывы в среднем на 20 минут в неделю, то какова вероятность, что сегодня интернета не будет целый час? 22.3%! А вот на два часа мы останемся без интернета с вероятностью только 4.3%. Итак, распределение Пуассона как раз для этого, зная среднее значение, мы можем получить вероятность, что событие произойдёт за интересующий нас период.

Вероятность (в общем)

Очень важная вероятность, используется буквально ежедневно на производстве и в сфере обслуживания и других науках. Суть очень проста: если мы знаем вероятность события и если такие события происходят независимо друг от друга, то мы можем узнать:

  • a. Вероятность, что произойдёт N событий
  • b. Вероятность, что произойдёт меньше или больше чем N событий

Пример

На заводе производят 1000 метров кабеля в день, стоимостью 500 рублей за 1 м. В среднем обнаруживается один брак на 300 метров произведённого и тогда метр провода обрезается. Какова вероятность, что за три дня завод потеряет больше 7000 рублей?

Вероятность, что провод окажется бракованным равна 1/300 ~ 0.0033. Потери завода на 7000 рублей – это 14 бракованных метров. Параметр лямбда для трёх дней равен: λ 3000*0.0033 = 10.

Куммулятивное значение распределения Пуассона для λ = 10 равно F(14) = 0.9165, откуда вероятность получить больше 14 бракованных метров за три дня равна 1-0.9165 = 0.08835 = 8.3%.

задача таких распределений – возможность предсказать потери, составлять планы на будущее.

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Другими словами, если событие происходит с некоторой периодичностью, то мы можем определить вероятность, что такое событие произойдёт n раз за интересующий нас период.

Параметр лямбда – λ

Распределение Пуассона зависит только от одного параметра – λ, данный параметр зависит от вероятности успешного события и общего количества событий. Успешное событие: распределение Пуассона применяется только тогда, когда есть разделение на результат “да” и “нет”, например, лампочка перегорела: да – успешное событие; шина прокололась: да – успешное событие и так далее.

Успешное событие не то же самое, что желаемое

λ = n*p, где p – вероятность успешного события, а n – общее количество событий, для которых ведётся расчёт. Например, если гроза проходит раз в месяц и мы хотим посчитать вероятность грозы за 24 месяца, то вероятность равна единице, а количество событий равно 24, откуда лямбда равна 24.

Можно считать по-другому, вероятность грозы в конкретный день – 1/30, количество событий – 730 дней, лямбда равна 24.3.

В тысяче ящиков с антоновками в одном попадается голден, какова вероятность, что в 5000 ящиках будет меньше 4 ящиков с яблоком голден?

Вероятность ящика с яблоком голден – 0.1% (1 ящик на 1000 = 1/1000, если в процентах – 1/1000 * 100 = 0.1%) Общее количество событий – 5000 ящиков Из вышесказанного следует:

λ = 5000 * 0.001 = 5

Откуда вероятность равна 26.5% (калькулятор ниже).

Функция вероятности (формула Пуассона)

Вероятность, что успешное событие произойдёт k раз:

f(k) = P(k) = λk * e-λ / k!

График распределения Пуассона

λ =

Обратите внимание, что при увеличении λ, график распределения становится похож на график нормального распределения.

n

p

λ

k1

k2

P(k=3)

5000

0.1%

5

3

P(k≥3)

0.734

5000

0.0001

5

3

3

P(k=3)

0.14

5000

0.1%

5

3

P(k≤3)

0.265

Функция для нахождения значения распределения Пуассона в эксель так и называется, “ПУАССОН”. Функция принимает два обязательных параметра – число и среднее, а также необязательный параметр “Интегральное значение”, так, что бы получить значение функции вероятности P(≤n), введите формулу:

=ПУАССОН(n;λ)
=POISSON(n;λ)

Если необхоидмо получить точечное значение, т.е. только для n:

=ПУАССОН(n;λ;ЛОЖЬ) =POISSON(n;λ,FALSE)

Пример: для распределения с параметром λ=5 узнать вероятность происхождения трёх событий:

=ПУАССОН(3;5;ЛОЖЬ) =POISSON(3;5;FALSE)

Вам понравилась статья? Да / Нет

7 325

Источник: https://k-tree.ru/articles/statistics/poisson.php

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.